Números complejos: Definición (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 19:11 4 mar 2009

Menú:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Tabla de contenidos

1 Necesidad de ampliación del campo numérico
2 Unidad imaginaria
- 2.1 Potencias de la unidad imaginaria
3 El conjunto de los números complejos
- 3.1 Forma binómica de un número complejo
- 3.2 Opuesto y conjugado de un complejo

Necesidad de ampliación del campo numérico

Hay ecuaciones como

$x^2 +9 = 0 \,$

que no tienen solución en el conjunto de los números reales

$x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}$ (no existe en $\mathbb{R}$ )

Vamos a definir un nuevo conjunto que amplie al conjunto de los números reales y en el cual estas ecuaciones si tengan solución. Ese conjunto va a ser el conjunto de los números complejos. Para ello vamos a empezar dando sentido a las raíces de números negativos.

Unidad imaginaria

Se denomina unidad imaginaria a $\sqrt{-1}$ . Se designa por la letra $i\,$

$i=\sqrt{-1}$

Con esta definición, la ecuación anterior ahora si tiene solución "imaginaria":

$x^2 +9 = 0 \rightarrow x^2=-9 \rightarrow x=\pm \sqrt{-9}=\pm 3 \, \sqrt{-1}=\pm \, 3i$

Potencias de la unidad imaginaria

$i^0=1\,$
$i^1=i\,$
$i^2=(\sqrt{-1} \, )^2=-1$
$i^3=i \cdot i^2=-i$
$i^4=i^2 \cdot i^2= (-1) \cdot (-1)=1$

A partir de $i^4\,$ se repiten cíclicamente los valores.

Ejemplo

$i^{21}=(i^4)^5 \cdot i=i$ (Al hacer la división entera: $21=4 \cdot 5 +1$ ).

El conjunto de los números complejos

Definimos el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:

$\mathbb{C}=\big\{ a+bi \, / \, a, \, b \in \mathbb{R} \big\}$

Forma binómica de un número complejo

La expresión $a+bi\,$ se denomina forma binómica de un número complejo. En ella, a $a\,$ se le llama parte real y a $b\,$ parte imaginaria.
Si $b=0\,$ , lo que tenemos es un número real, por tanto $\mathbb{R} \sub \mathbb{C}$ .
Si $a=0\,$ , se le llama número imaginario puro.
Dos números complejos en forma binómica son iguales si tienen iguales sus partes reeales y sus partes imaginarias.

Opuesto y conjugado de un complejo

Se define el opuesto de un complejo $a+bi\,$ como otro número complejo, el $-a-bi\,$
Se define el conjugado de un complejo $a+bi\,$ como el número complejo $a-bi\,$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_complejos:_Definici%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría | Números

 <center><math>\mathbb{C}=\big\{ a+bi \, / \, a, \, b \in \mathbb{R} \big\}</math></center>
-La expresión <math>a+bi\,</math> se denomina '''forma binómica''' de un número complejo. En ella, a <math>a\,</math> se le llama '''parte real''' y a <math>b\,</math> '''parte imaginaria'''.
 }}
 {{p}}
+===Forma binómica de un número complejo===
+{{Caja_Amarilla|texto=
+*La expresión <math>a+bi\,</math> se denomina '''forma binómica''' de un número complejo. En ella, a <math>a\,</math> se le llama '''parte real''' y a <math>b\,</math> '''parte imaginaria'''.
+*Si <math>b=0\,</math>, lo que tenemos es un número real, por tanto <math>\mathbb{R} \sub \mathbb{C}</math>.
+*Si <math>a=0\,</math>, se le llama número '''imaginario puro'''.
+*Dos números complejos en forma binómica son '''iguales''' si tienen iguales sus partes reeales y sus partes imaginarias.
+}}
+{{p}}
+===Opuesto y conjugado de un complejo===
+{{Caja_Amarilla|texto=
+*Se define el '''opuesto''' de un complejo <math>a+bi\,</math> como otro número complejo, el <math>-a-bi\,</math>
+*Se define el '''conjugado''' de un complejo <math>a+bi\,</math> como el número complejo <math>a-bi\,</math>
+}}
+{{p}}
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]][[Categoría: Números]]

Números complejos: Definición (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de 19:11 4 mar 2009

Tabla de contenidos

Necesidad de ampliación del campo numérico

Unidad imaginaria

Potencias de la unidad imaginaria

El conjunto de los números complejos

Forma binómica de un número complejo

Opuesto y conjugado de un complejo

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas