Vectores: Producto escalar (1ºBach)
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+ | {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplo:|contenido=:Dados los vectores {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\overrightarrow{u}(2,-1)</math>}} y {{sube|porcentaje=+10%|contenido=<math>\overrightarrow{v}(3,2)</math>}}, respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman: | ||
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+ | <center><math>cos \, (\widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}})=\cfrac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \, |\overrightarrow{v}|}=\cfrac{4}{\sqrt{5} \, \sqrt{13}}=0.4961 \quad \rightarrow \quad \widehat{\overrightarrow{u}, \, \overrightarrow{v}}=60^\circ 15' 20''</math></center> | ||
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Tabla de contenidos |
Producto escalar de vectores
Se llama producto escalar de dos vectores y , al número real que se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
Propiedades del producto escalar
Propiedad fundamental del producto escalar
Propiedad fundamental
- Si cualquiera de los dos vectores, o , es , entonces .
- Dados dos vectores no nulos, y , se cumple que
- La primera propiedad es inmediata.
- Para la segunda propiedad, si ambos vectores no son nulos, entonces, para que el producto escalar sea cero, debe ser cero el coseno del ángulo que forman, y esto ocurre sólo si el ángulo es de 90º.
Signo del producto escalar
Propiedades: signo del producto escalar
El signo del producto escalar queda determinado por el ángulo que forman los vectores:
- si es agudo.
- si es obtuso.
Esta propiedad es inmediata, ya que el coseno de un ángulo es positivo, si éste es agudo, y negativo, si es obtuso.
Operaciones con el producto escalar
Propiedades de las operaciones
- Propiedad conmutativa: .
- Propiedad asociativa: .
- Propiedad distributiva: .
Proyección de vectores y producto escalar
Llamaremos proyección del vector sobre el vector , al número siendo . Observa que la proyección es un número positivo o negativo según lo sea . |
El producto escalar con bases ortonormales
Expresión analítica del producto escalar en bases ortonormales
Proposición
Sea una base ortonormal, entonces
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Proposición
Si las coordenadas de los vectores y , respecto de una base otonormal son y , entonces:
En efecto, al ser los vectores de la base unitarios y perpendiculares, tenemos:
Módulo de un vector en una base ortonormal
Módulo de un vector
- El módulo de un vector , respecto de una base otonormal, es
<center>
Si respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Igualando ambos resultados tenemos lo que buscamos.Ángulo de dos vectores en una base ortonormal
Ángulo entre dos vectores
Dados dos vectores, y , respecto de una base otonormal, se cumple que
Si y , respecto de una base otonormal, entonces:
Por otro lado:
Sustituyendo en esta última expresión las anteriores, tenemos lo que buscamos.- Dados los vectores y , respecto de una base otonormal, vamos a calcular el ángulo que forman:
Vector ortogonal a otro
Proposición
Los vectores de coordenadas y , respecto de una base ortonormal, son ortogonales.
Por la propiedad fundamental, sabemos que:
Por otro lado, como las base es ortonormal, la expresión analítica del producto escalar es
De manera que el producto escalar vale cero y, por tanto, los vectores son ortogonales.