Puntos y vectores el plano (1ºBach)
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| Línea 46: | Línea 46: | ||
| \\ | \\ | ||
| y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} | y_2-y_1=\lambda \, (y_3-y_2) \rightarrow \lambda=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2} | ||
| - | \end{cases}</math> | + | \end{cases} |
| + | </math> | ||
| Igualando ambas expresiones de <math>\lambda \,</math>, se obtiene lo que buscamos. | Igualando ambas expresiones de <math>\lambda \,</math>, se obtiene lo que buscamos. | ||
| Línea 53: | Línea 54: | ||
| ==Punto medio de un segmento== | ==Punto medio de un segmento== | ||
| + | {{Teorema|titulo=Punto medio de un segmento|enunciado= | ||
| + | :Las coordenadas del puinto medio, <math>M\,</math>, de un segmento de extremos <math>A(x_1,y_1)\,</math> y <math>B(x_2,y_2)\,</math> son: | ||
| + | <center><math>M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)</math></center> | ||
| + | |demo= | ||
| + | [[Imagen:puntomedio.gif|right]]Sea <math>M=(x_3,y_3)\,</math> el punto medio del segmento {{sube|porcentaje=+30%|contenido=<math>\overline{AB}</math>}}. Tenemos: | ||
| + | |||
| + | :<math>\overrightarrow{AM}=\cfrac{1}{2} \, \overrightarrow{AB} \rightarrow (x_3-x_1, y_3-y_1)=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1, y_2-y_1) \rightarrow </math> | ||
| + | :<math>\rightarrow | ||
| + | \begin{cases} | ||
| + | x_3-x_1=\cfrac{1}{2} \, (x_2-x_1) \rightarrow 2(x_3-x_1)=x_2-x_1 \rightarrow x_3=\cfrac{x_1+x_2}{2} | ||
| + | \\ | ||
| + | y_3-y_1=\cfrac{1}{2} \, (y_2-y_1) \rightarrow 2(y_3-y_1)=y_2-y_1 \rightarrow y_3=\cfrac{y_1+y_2}{2} | ||
| + | \end{cases} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
| + | Con lo que obtenemos lo que buscabamos. | ||
| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| ==Simétrico de un punto respecto de otro== | ==Simétrico de un punto respecto de otro== | ||
| [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] | ||
Revisión de 08:04 17 mar 2009
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Tabla de contenidos |
Sistema de referencia en el plano
Un sistema de referencia del plano consiste en una terna 
, donde 
es un punto fijo, llamado origen, y 
una base de vectores del plano.
Vector de posición de un punto
- En un sistema de referencia , cada punto
del plano tiene asociado un vector fijo 
, llamado vector de posición del punto .
- Si el vector tiene coordenadas
respecto de la base , el punto tendrá coordenadas respecto del sistema de referencia 
.
Vector de dirección de una recta
- Una recta queda determinada por un punto y un vector que fije su dirección, a dicho vector lo llamaremos vector de dirección de la recta.
- Dos puntos
y 
de una recta determinan un vector de dirección de la misma, 
.
Coordenadas del vector que une dos puntos
Coordenadas del vector que une dos puntos
- Dados dos puntos del plano de coordenadas
y 
, respecto de un sistema de referencia , entonces:
Demostración:
Como 
Condición para que tres puntos estén alineados
Condición para que tres puntos estén alineados
- Los puntos del plano , y
, están alineados si se cumple:
Demostración:
Los puntos del plano , y , están alineados si los vectores y 
tienen la misma dirección.
Ahora, esto ocurre si los vectores son proporcionales: 
, se obtiene lo que buscamos.Punto medio de un segmento
Punto medio de un segmento
- Las coordenadas del puinto medio,
, de un segmento de extremos y son:
Demostración:
el punto medio del segmento 
. Tenemos:
