Haz de rectas en el plano (1ºBach)
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| Faltaría ver si cualquier recta que pase por el punto P se puede expresar como recta del haz. Para ello, consideremos una recta cualquiera que pase por el punto P. La ecuación de ésta será: | Faltaría ver si cualquier recta que pase por el punto P se puede expresar como recta del haz. Para ello, consideremos una recta cualquiera que pase por el punto P. La ecuación de ésta será: | ||
| - | *Si <math>d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0 \, : \quad \cfrac{x-x_0}{d_1}=\cfrac{y-y_0}{d_2}</math>{{b4}} (ecuación continua) | + | :'''a)''' Si <math>d_1 \ne 0; \quad d_2 \ne 0 \, : \quad \cfrac{x-x_0}{d_1}=\cfrac{y-y_0}{d_2}</math>{{b4}} (ecuación continua) |
| - | *Si <math>d_1=0 \, : \quad x=x_0</math> | + | :'''b)''' Si <math>d_1=0 \, : \quad x=x_0</math> |
| - | *Si <math>d_2=0 \, : \quad y=y_0</math> | + | :'''c)''' Si <math>d_2=0 \, : \quad y=y_0</math> |
| Cada uno de estos tres casos se puede poner como una recta del haz, para valores de <math>a\,</math> y <math>b\,</math> adecuados: | Cada uno de estos tres casos se puede poner como una recta del haz, para valores de <math>a\,</math> y <math>b\,</math> adecuados: | ||
| - | *<math>\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2} \;\; \rightarrow \;\; \cfrac{1}{d_1}(x-x_0)- \cfrac{1}{d_2}(y-y_0)=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=\cfrac{1}{d_1} \\ b=\cfrac{1}{d_2} \end{cases} </math> | + | :'''a)''' <math>\cfrac{x-p_1}{d_1}=\cfrac{y-p_2}{d_2} \;\; \rightarrow \;\; \cfrac{1}{d_1}(x-x_0)- \cfrac{1}{d_2}(y-y_0)=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=\cfrac{1}{d_1} \\ b=\cfrac{1}{d_2} \end{cases} </math> |
| - | *<math>x=x_0 \;\; \rightarrow \quad x-x_0=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=1 \\ b=0 \end{cases}</math> | + | :'''b)''' <math>x=x_0 \;\; \rightarrow \quad x-x_0=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=1 \\ b=0 \end{cases}</math> |
| - | *<math>y=y_0 \;\; \rightarrow \;\; y-y_0=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=0 \\ b=1 \end{cases}</math> | + | :'''c)''' <math>y=y_0 \;\; \rightarrow \;\; y-y_0=0 \;\; \rightarrow \; \begin{cases} a=0 \\ b=1 \end{cases}</math> |
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Revisión de 17:26 19 mar 2009
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Haz de rectas de centro un punto
Llamamos haz de rectas de centro P al conjunto de todas las rectas que pasan por un punto P.
Proposición
El haz de rectas de centro 
es :
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Los parámetros 
y 
, al darles valores, nos permiten obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz, siempre que no sean simultaneamente nulos.
Es evidente que cualquier recta del haz pasa por el punto P, puesto que al sustituir las coordenadas del punto en la expresión del haz, siempre se verifica la ecuación.
Faltaría ver si cualquier recta que pase por el punto P se puede expresar como recta del haz. Para ello, consideremos una recta cualquiera que pase por el punto P. La ecuación de ésta será:
- a) Si
(ecuación continua)
- b) Si
- c) Si
Cada uno de estos tres casos se puede poner como una recta del haz, para valores de y adecuados:
- a)
- b)
- c)
Proposición
El haz de rectas de centro es :
|
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La pendiente 
es un parámetro que, al darle valores, nos permite obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz.
Es evidente ya que la ecuación punto pendiente permite obtener la ecuación de una recta conocido eun punto y su pendiente. Así, si yo dejo fijo al punto y hago variar la pendiente, obtengo todas las rectas con todas las inclinaciones posibles que pasan por ese punto, a falta de
, que al ser vertical se escapa a este procedimiento, ya que su pendiente es "infinita".Proposición
Dadas dos rectas que se corten en un punto P: 
.
La ecuación del haz de centro P es:
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Lo parámetros 
y 
, al darles valores, nos permiten obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz, siempre que no sean simultaneamente nulos.
