La circunferencia (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Circunferencia
2 Ecuación de la circunferencia
3 Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia
4 Posiciones relativas de dos circunferencias
5 Circunferencia que pasa por tres puntos

Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $X\,$ , cuya distancia al centro es $r\,$ .

$\big \{X \, , \; d(X,O)=r \big \}$

Ecuación de la circunferencia

Proposición

La ecuación de la circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,$

Demostración:[Mostrar]

Proposición

La ecuación de una circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$

donde: $A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$ .

Demostración:[Mostrar]

Corolario

Dada la circunferencia de ecuación $x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$ , su centro y su radio vienen dados por:

$O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2}) \quad , \quad r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}$

Demostración:[Mostrar]

Actividad Interactiva: Ecuación de la circunferencia

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la ecuación de la circunferencia de centro $O(-3,0)\,$ y radio $r=5\,$ .

Actividad:[Mostrar]

Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia

Una recta $r: \, Ax+By+C=0$ y una circunferencia $s: \, x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0$ pueden ser:

Secantes: si se cortan en 2 puntos.
Tangentes: si se cortan en un punto.
Exteriores: si no se cortan.

Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema: $\begin{cases} Ax+By+C=0 \\ x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

Actividad Interactiva: Posición relativa de recta y circunferencia

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la posición relativa de la recta $r: \, 2x-y+1=0$ y la circunferencia $C: \, x^2+y^2-2x-2y-2=0$ .

Actividad:[Mostrar]

Posiciones relativas de dos circunferencias

Dos circunferencias pueden ser:

Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.

Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. En realidad no se trata de dos circunferencias distintas, sino de una misma. Si dos circunferencias se cortan en más de dos puntos, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Si sus ecuaciones son:

$\begin{cases} C_1: \; x^2+y^2+Ax+By+C=0 \\ C_2: \; x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema.

Actividad Interactiva: Posición relativa de dos circunferencias

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la posición relativa de las circunferencias:

$C_1: \, x^2+y^2+6x+2y+1=0$

$C_2: \, x^2+y^2-2x-4y+1=0$ .

Actividad:[Mostrar]

Circunferencia que pasa por tres puntos

Por tres puntos no alineados A, B y C, pasa una circunferencia. Para obtenerla, hallaremos el circuncentro del triángulo ABC (punto de intersección de las ecuaciones de las mediatrices) que será el centro de la circunferencia. El radio se obtiene calculando la distancia del centro a cualquiera de los tres puntos dados.

Actividad Interactiva: Circunferencia que pasa por tres puntos

Actividad 1: En esta escena vamos a hallar la circunferencia que pasa por los puntos A(3,4), B(1,-2) y C(-2,3).

Actividad:[Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_circunferencia_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 {{p}}
 Son tangentes porque sólo hay un punto de corte: <math>(-\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})\,</math>.
-----
-Para poder comprobar los resultados en la escena tenemos que hallar sus centros y sus radios:
-{{p}}
-:<math>C_1: \, x^2+y^2+6x+2y+1=0\; \rightarrow \; \begin{cases}
-O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})=(-3,1)
-\\
-\\
-r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}=\sqrt{3^2+1^2-1}=3
-\end{cases}</math>
-:<math>C_2: \, x^2+y^2-2x-4y+1=0\; \rightarrow \; \begin{cases}
-O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2})=(1,2)
-\\
-\\
-r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}=\sqrt{1^2+2^2-1}=2
-\end{cases}</math>
 Su representación gráfica puedes verla en la escena:
 <center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/circunferencia/circunferencia_tres_2.html
+url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/circunferencia/circunferencia_tres_2b.html
-width=520
+width=470
-height=420
+height=400
 name=myframe
 </iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/circunferencia/circunferencia_tres_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
+<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Geometria/circunferencia/circunferencia_tres_2b.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
 ----
 :<math>C_2: \, x^2+y^2+2x=0</math>
-Comprueba los resultados en la escena anterior.
+Comprueba los resultados en la escena anterior, editando las ecuaciones que aparecen en la parte inferior.
 }}
 }}
 {{p}}
 ==Circunferencia que pasa por tres puntos==
 {{Caja_Amarilla|texto=Por tres puntos no alineados A, B y C, pasa una circunferencia. Para obtenerla, hallaremos el circuncentro del triángulo ABC (punto de intersección de las ecuaciones de las mediatrices) que será el centro de la circunferencia. El radio se obtiene calculando la distancia del centro a cualquiera de los tres puntos dados.

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