La elipse (1ºBach)

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Elementos de la elipse

Una una elipse de focos $F\,$ y $F'\,$ , con ejes de simetría $AA'\,$ y $BB'\,$ , que se cortan en el centro $O\,$ de la elipse, determina los siguientes segmentos:

$a=\overline{OA}=\overline{OA'}$ (semieje mayor).
$b=\overline{OB}=\overline{OB'}$ (semieje menor).
$c=\overline{OF}=\overline{OF'}$ (semidistancia focal).

Propiedades

$k=2a\,$ (constante de la elipse)
$a=\overline{BF}=\overline{BF'}$
$a^2=b^2+c^2\,$
$c<a\,$

Demostración:

La constante de la elipse es $k=2a\,$ , ya que, al ser $A\,$ un punto de la elipse:

$k=\overline{AF}+\overline{AF'}=\overline{AF}+\overline{A'F}=2a$

Por ser $B\,$ un punto de la elipse:

$\overline{BF}+\overline{BF'}=2a \rightarrow \overline{BF}=\overline{BF'}=a$

Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo $BOF\,$ , tenemos

$a^2=b^2+c^2\,$

Por ser $a\,$ la hipotenusa y $c\,$ un cateto, tenemos que $c<a\,$ .

Excentricidad de la elipse

La escentricidad de la elipse es el cociente entre la distancia focal y el eje mayor:

$exc=\cfrac{c}{a}$

Propiedades

$0<exc<1\,$ .
La excentricidad mide el achatamiento de la elipse: cuanto más próxima a 1 más se parece a a una circunferencia.

Demostración:

Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que $a>c \rightarrow \cfrac{c}{a}<1$

y como $a>0\,$ y $c>0\,$ , tenemos que $\cfrac{c}{a}>0$

Cuanto más próxima a 1 sea la excentricidad, más proximos son $a\,$ y $c\,$ y, por tanto, más se aproxima $b\,$ a cero.

Ecuación de la elipse

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_elipse_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 *La excentricidad mide el achatamiento de la elipse: cuanto más próxima a 1 más se parece a a una circunferencia.
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-*Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos:
+*Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que <math>a>c \rightarrow \cfrac{c}{a}<1</math>
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 *Cuanto más próxima a 1 sea la excentricidad, más proximos son <math>a\,</math> y <math>c\,</math> y, por tanto, más se aproxima <math>b\,</math> a cero.
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 ==Ecuación de la elipse==
 [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

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