La parábola (1ºBach)

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==Elementos de la elipse== ==Elementos de la elipse==
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*¿Conoces algún otro ejemplo práctico donde se aproveche esta propiedad de la parábola? *¿Conoces algún otro ejemplo práctico donde se aproveche esta propiedad de la parábola?
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La parábola

Dados un punto F\, llamado foco, y una recta d\,, llamada directriz, se llama parábola al lugar geométrico de los puntos P\, del plano que equidistán del foco y de la directriz:

d(P,F)=d(P,d)\,

Elementos de la elipse

Una una elipse de focos F\, y F'\,, con ejes de simetría AA'\, y BB'\,, que se cortan en el centro O\, de la elipse, determina los siguientes segmentos:

  • a=\overline{OA}=\overline{OA'} (semieje mayor).
  • b=\overline{OB}=\overline{OB'} (semieje menor).
  • c=\overline{OF}=\overline{OF'} (semidistancia focal).

ejercicio

Propiedades

  • k=2a\, (constante de la elipse)
  • a=\overline{BF}=\overline{BF'}
  • a^2=b^2+c^2\,
  • c<a\,
Demostración:
  • La constante de la elipse es k=2a\,, ya que, al ser A\, un punto de la elipse:

k=\overline{AF}+\overline{AF'}=\overline{AF}+\overline{A'F}=2a


  • Por ser B\, un punto de la elipse:

\overline{BF}+\overline{BF'}=2a \rightarrow \overline{BF}=\overline{BF'}=a


  • Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo BOF\,, tenemos

a^2=b^2+c^2\,


  • Por ser a\, la hipotenusa y c\, un cateto, tenemos que c<a\,.
Imagen:Parabola.png

ejercicio

Actividad interactiva: Propiedades de la parábola

Actividad 1: En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la parábola en la que veremos como cualquier "rayo" perpendicular a la directriz que impacte en la curva se refleja y va a parar a su foco.
Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena


Ejercicio:

Desliza el punto verde hacia la derecha y observa:

  • Describe lo que ves.
  • ¿Encuentra alguna relación con el funcionamiento de las antenas parabólicas?
  • ¿Conoces algún otro ejemplo práctico donde se aproveche esta propiedad de la parábola?
Actividad 2: Tiro parabólico
Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena


Ejercicio:

En la figura se puede observar la trayectoria de un proyectil (cuya velocidad de salida es constante). Prueba a modificar el ángulo de inclinación inicial.

  • ¿Para qué inclinación se obtiene el alcance máximo?

Activa el trazo de para comprobar la zona de alcance de los proyectiles.

  • ¿Qué tipo de curva limita esa zona "de seguridad"?

Construcciones de la parábola

ejercicio

Actividad interactiva: Construcciones de la parábola

Actividad 1: Método basado en su definición como lugar geométrico.
Actividad:
Activa la traza, desliza el punto P y observa.
  1. ¿Qué tipo de curva describe la traza de P en su movimiento?
  2. ¿Qué se puede decir de los segmentos PF y PD?
  3. ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?


Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 2: La parábola como envolvente.
Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el punto P y observa.

Activa el trazo de la perpendicular a PF por P y vuelve a deslizar el punto P

  • ¿Cuál es la envolvente de la familia de esas rectas?, es decir, ¿cuál es la curva tangente a esa familia de rectas?

Tras pulsar sobre para volver a la figura inicial, modifica la posición de F o de la recta directriz y repite lo anterior.

  • ¿De qué modo influye la posición de F y dir en la forma y posición de la parábola generada?
Actividad 3: La parábola generada por el centro de una circunferencia.
Actividad:
Click aquí si no se ve bien la escena

Desliza el punto P y observa.

  • ¿Cómo viene determinada la posición de la circunferencia en cada momento?
  • ¿Qué se podrá decir de las distancias de su centro a la recta dir y F respectivamente?

Activa el trazo del centro de la circunferencia y vuelve a deslizar el punto P.

  • Define la parábola como lugar geométrico en base alo observado.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_par%C3%A1bola_%281%C2%BABach%29"
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