Plantilla:Funciones logarítmicas (1ºBach)
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- | [[Imagen:Logarithms.png|thumb|364px|Representación gráfica de logaritmos en varias bases: | + | [[Imagen:Logarithms.png]] |
- | <br />el <span style="color:red">rojo</span> representa el logaritmo en base '''e''', | + | |
- | <br />el <span style="color:green">verde</span> corresponde a la base 10, | + | |
- | <br />y el <span style="color:purple">púrpura</span> al de la base 1,7. | + | |
- | <br />Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos ('''a''', 1) para la base '''a''', debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.]] | + | |
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{{Caja_Amarilla | {{Caja_Amarilla | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
- | La función logarítmica de base <math>e = 2,7182...\;</math> (número e) es de especial importancia en matemáticas. Se denomina '''función logaritmo neperiano''' y se designa por <math>ln \, x</math>. | + | La función logarítmica de base el número '''e''' = 2,7182... es de especial importancia en matemáticas. Se denomina '''función logaritmo neperiano''' y se designa por <math>ln \, x</math>. |
La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina '''función logaritmo decimal''' y se designa por <math>log \, x</math> (sin especificar la base). | La función logarítmica de base 10 también es de particular interés. Se denomina '''función logaritmo decimal''' y se designa por <math>log \, x</math> (sin especificar la base). | ||
+ | {{p}} | ||
+ | En la representación gráfica de la derecha puedes ver funciones logarítmicas en varias bases: | ||
+ | *En <span style="color:red">rojo</span> representa el logaritmo en base '''e''', | ||
+ | *En <span style="color:green">verde</span> corresponde a la base 10, | ||
+ | *En <span style="color:purple">púrpura</span> al de la base 1,7. | ||
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+ | Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos ('''a''', 1) para la base '''a''', debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo. | ||
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{{p}} | {{p}} | ||
===Propiedades=== | ===Propiedades=== | ||
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}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} | ||
+ | {{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Propiedades de la función exponencial''|cuerpo= | ||
+ | {{ai_cuerpo | ||
+ | |enunciado='''Actividad 1.''' Comprueba las propiedades de las funciones exponenciales en la siguiente escena. | ||
+ | |actividad= | ||
+ | |||
+ | <center><iframe> | ||
+ | url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/exponencial_1.html | ||
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+ | <center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/exponencial_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> | ||
+ | {{p}} | ||
+ | |||
+ | Comprueba en la escena anterior las siguientes propiedades: | ||
+ | |||
+ | * Todas pasan por los punto <math>(0,1)\;</math> y <math>(a,0)\;</math>, donde <math>a\;</math> es la base. | ||
+ | * Si la base <math>a>1\;</math>, son crecientes y si <math>0<a<1\;</math> decrecientes. | ||
+ | * Son siempre positivas y nunca se anulan (su gráfica está por encima del eje X). | ||
+ | * Observa como varía la gráfica al aumentar o disminuir el valor de la base. | ||
+ | |||
+ | Contesta: | ||
+ | |||
+ | *¿Cuál es el dominio de estas funciones? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la primera coordenada del punto azul? | ||
+ | *¿Cuál es la imagen de estas funciones? o, lo que es lo mismo, ¿qué valores puede tomar la segunda coordenada del punto azul? | ||
+ | *¿Cuál es el punto de corte de la gráfica con los ejes? | ||
+ | }} | ||
}} | }} | ||
{{p}} | {{p}} |
Revisión de 11:05 16 abr 2009
Tabla de contenidos |
Función logarítmica de base a
Propiedades
Propiedades de la función logarítmica
Las funciones exponenciales de base cumplen las siguientes propiedades:
- Son continuas en
.
- Pasan por
y
.
- Si
son crecientes y si
son decrecientes. Su crecimiento es menor que el de las funciones raíz de cualquier índice
.
- La función logaritmica y la exponencial de la misma base son funciones inversas y por tanto sus gráficas son simétricas respecto de la recta
.
Actividad Interactiva: Propiedades de la función exponencial
Actividad 1. Comprueba las propiedades de las funciones exponenciales en la siguiente escena.
Actividad: Comprueba en la escena anterior las siguientes propiedades:
Contesta:
|
Actividad Interactiva: Función logarítmica
Actividad 1. Representación gráfica de distintas funciones logarítimicas y comparación con la función exponencial con la misma base.
Actividad: En esta escena tienes las gráfica de las funciones: a)
![]() ![]() Cambia con los controles el valor de
|
El modelo logarítmico
Ejemplo: Modelo logarítmico
Los científicos modelan la respuesta humana a estímulos (como sonido, luz o presión) por medio de funciones logarítmicas. El psicólogo Gustav Fechner formuló la ley como
![k \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)](/wikipedia/images/math/3/5/6/356998ebc09418d5f04c2a91d575b15c.png)
donde es la intensidad subjetiva del estímulo,
la intensida física del estímulo,
la intensidad física umbral y
es una constante que difiere en cada estímulo sensorial.
Por ejemplo, la percepción de la sonoridad , en decibelios (dB), de un sonido con intensidad física
en W / m2 está dada por
![B= 10 \, log \left( \frac{I}{I_0} \right)](/wikipedia/images/math/6/8/c/68cb918bb83a007c37204cbf5841f391.png)
donde la intensidad física de un sonido apenas audible (umbral). Encuentra el nivel de sonoridad (en dB) de un sonido cuya intensidad física
es 100 veces la de
.
Partimos del hecho de que , entonces, sustituyendo en la fórmula de la percepción sonora, tendremos:
![B = 10 \, log \left( \cfrac{I}{I_0} \right)= \ 10 \, log \left( \cfrac{100 \,I_0}{I_0} \right) = 10 \, log 100 = 10 \cdot 2 = 20](/wikipedia/images/math/1/6/d/16d943b9ed8d3df15c18d1c4fcef6e54.png)
Calculadora
Logartitmo decimal
Calculadora: Logaritmo decimal |
Logartitmo neperiano
Calculadora: Logaritmo neperiano |