Plantilla:Raíces: definición y propiedades

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Revisión de 17:26 7 ago 2016

Raíz n-ésima de un número

Se define raíz n-ésima $(n \in \mathbb{N},\ n>1)$ de un número $a\;\!$ como otro número $b\;\!$ tal que $b^n =a\;\!$ y que escribimos simbólicamente $b=\sqrt[n]{a}$ .

$\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a$

El número $a\;\!$ se llama radicando, el número $n\;\!$ índice y $b\;\!$ la raíz.

Propiedades de las raíces

$\sqrt[n]{1}=1$ y $\sqrt[n]{0}=0$ , para cualquier valor del índice $n\;\!$ .
Si $a>0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ existe cualquiera que sea el índice $n\;\!$ .
Si $a<0\;\!$ , $\sqrt[n]{a}$ sólo existe si el índice $n\;\!$ es impar.
Si el índice $n\;\!$ es par y el radicando $a>0\;\!$ , la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
Si el índice $n\;\!$ es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando $a\;\!$ .

Ejemplos

$\sqrt[3]{1}=1$ .
$\sqrt[5]{0}=0$ .
$\sqrt[4]{16}=\pm 2$ porque $(\pm 2)^4=16\;\!$ .
$\sqrt[3]{64}=4$ porque $4^3=64\;\!$ .
$\sqrt[3]{-8}=-2$ porque $(-2)^3=-8\;\!$ .
$\sqrt[4]{-8}= no \ existe$ porque ningún número elevado a 4 puede dar negativo (-8).

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ra%C3%ADces:_definici%C3%B3n_y_propiedades"

-==Raíz de un número==
+==Raíz n-ésima de un número==
-Sabemos que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>3^2 = 9\;\!</math>}}. Esta igualdad la podemos expresar de forma similar como {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>\sqrt{9}=3</math>}} y se lee ''3 es igual a la raíz cuadrada de 9''.
-En general:{{p}}
 {{Caja_Amarilla|texto=
-*Se define la '''raíz cuadrada''' de un número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>a\;\!</math>}} como otro número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>b\;\!</math>}} tal que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^2 =a\;\!</math>}}, que escribimos simbólicamente: <math>b=\sqrt{a}</math>.
+Se define '''raíz n-ésima''' <math>(n \in \mathbb{N},\ n>1)</math>de un número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>a\;\!</math>}} como otro número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>b\;\!</math>}} tal que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^n =a\;\!</math>}} y que escribimos simbólicamente <math>b=\sqrt[n]{a}</math>.
-*Se define la '''raíz cúbica''' de un número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>a\;\!</math>}} como otro número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>b\;\!</math>}} tal que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^3 =a\;\!</math>}}, que escribimos simbólicamente: <math>b=\sqrt[3]{a}</math>.
-*Igualmente, se define '''raíz n-sima''' <math>(n \in \mathbb{N},\ n>1)</math>de un número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>a\;\!</math>}} como otro número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>b\;\!</math>}} tal que {{sube|porcentaje=+20%|contenido=<math>b^n =a\;\!</math>}}, que escribimos simbólicamente: <math>b=\sqrt[n]{a}</math>.
+<center><math>\sqrt[n]{a}=b \iff b^n =a</math></center>
-*El número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>a\;\!</math>}} se llama '''radicando''', el número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>n\;\!</math>}} '''índice''' y {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>b\;\!</math>}} es la '''raíz'''.
-}}
+El número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>a\;\!</math>}} se llama '''radicando''', el número {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>n\;\!</math>}} '''índice''' y {{sube|porcentaje=+15%|contenido=<math>b\;\!</math>}} la '''raíz'''.
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-:Pulsa el botón "ejemplo" para ver más ejemplos de raíces cuadradas y cúbicas. Anótalos en tu cuaderno:
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 *Si <math>a>0\;\!</math>, <math>\sqrt[n]{a}</math> existe cualquiera que sea el índice <math>n\;\!</math>.
 *Si <math>a<0\;\!</math>, <math>\sqrt[n]{a}</math> sólo existe si el índice <math>n\;\!</math> es impar.
-*Si el índice <math>n\;\!</math> es par y el radicando <math>a>0\;\!</math>, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto. Si el índice es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando <math>a\;\!</math>.
+*Si el índice <math>n\;\!</math> es par y el radicando <math>a>0\;\!</math>, la raíz tiene dos soluciones: una positiva y otra negativa, pero iguales en valor absoluto.
+*Si el índice <math>n\;\!</math> es impar, siempre tiene una única solución, que tiene el mismo signo que el radicando <math>a\;\!</math>.
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