Plantilla:Progresiones geométricas
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- | En efecto, razonando por '''inducción''': | + | En efecto, de forma intuitiva: |
<center><math>a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!</math> | <center><math>a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!</math> | ||
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<math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math> | <math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math> | ||
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+ | '''Demostración por el método de inducción completa:''' | ||
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+ | Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural. | ||
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+ | Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula: | ||
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+ | <center><math>a_1 = a_1 \cdot r^{1-1} = a_1 \cdot r^0 = a_1</math></center> | ||
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+ | con lo que queda comprobada para n=1. | ||
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+ | Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n. Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1. | ||
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+ | Sustituimos n por n+1 en el lado derecho de la fórmula: | ||
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+ | <center><math>a_1 \cdot r^{n+1-1}= a_1 \cdot r^n</math>{{b4}}[1]</center> | ||
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+ | Por otro lado sabemos que <math>a_{n+1}=a_n \cdot r \;</math>, y como hemos supuesto que la igualdad es cierta para el valor n, <math>a_n = a_1 \cdot r^{n-1}</math>, tenemos que: | ||
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+ | <center><math>a_{n+1}=a_n \cdot r = a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r = a_1 \cdot r^{n-1+1} = a_1 cdot r^n\;</math></center> | ||
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+ | con lo que llegamos a la misma expresión que en [1], verificando así que la fórmula se cumple para el valor n+1 y terminando la demostración por inducción. | ||
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===Suma de términos de una progresión geométrica=== | ===Suma de términos de una progresión geométrica=== |
Revisión de 09:31 14 ago 2016
Tabla de contenidos |
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, , que llamaremos razón
Por ejemplo:
es una progresión geométrica de razón r=2.
Término general de una progresión geométrica
Término general de una progresión geométrica
Sean términos de una progresión geométrica de razón
.
Entonces se cumple que:
|
En efecto, de forma intuitiva:
![a_2 = a_1 \cdot r = a_1 \cdot r^1 \;\!](/wikipedia/images/math/d/9/9/d9937eba41d8c160675d7124f7d3ea98.png)
........................
Demostración por el método de inducción completa:
Para ello hay que comprobar primero que la fórmula se cumple para n=1. A continuación, suponiendo que la fórmula es cierta para el valor n, deberemos comprobar que también se cumple para el valor n+1. Con ésto, la fórmula será cierta para todo valor n natural.
Veamos que se cumple para n=1. Sustituimos n por 1 en el lado derecho de la fórmula:
<center>
con lo que queda comprobada para n=1.
Supongamos que la fórmula es cierta para el valor n. Debemos comprobar que se cumple para el valor n+1.
Sustituimos n por n+1 en el lado derecho de la fórmula:
![a_1 \cdot r^{n+1-1}= a_1 \cdot r^n](/wikipedia/images/math/3/3/4/33410edbc4b0e17ccd46c860d0905bd7.png)
Por otro lado sabemos que , y como hemos supuesto que la igualdad es cierta para el valor n,
, tenemos que:
![a_{n+1}=a_n \cdot r = a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r = a_1 \cdot r^{n-1+1} = a_1 cdot r^n\;](/wikipedia/images/math/f/0/3/f0391ac56664af38441e52f2909238a5.png)
</center>
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de términos de una progresión geométrica
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
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Efectuamos la siguiente resta:
- ______________________________________________________________________________
por tanto:
![S_n(r-1)=a_n r-a_1\;](/wikipedia/images/math/0/7/9/079ca399d5f05beecf41ad4e6e792444.png)
y despejando
![S_n=\cfrac{(a_n \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r - a_1)}{r-1}=\cfrac{(a_1 \cdot r^n - a_1)}{r-1}](/wikipedia/images/math/b/e/2/be2a9c31a9b8db2573a10d643154e146.png)
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica
La suma de todos los términos de una progresión geométrica en la que su razón verifica que se obtiene así:
|
La siguiente demostración usa el concepto de límite que aún no conoceis. Lo podremos ver con detalle, más adelante en este tema, en un apartado titulado Algunos límites importantes.
Vamos a partir de la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica y vamos a hacer que n tienda a infinito.
![S_n=\frac{a_1.r^n-a_1}{r-1}](/wikipedia/images/math/f/6/b/f6bee972752d52c33759bd3880051a7d.png)
Como , cuando n tiende a infinito,
tiende a 0.
![S_n\;](/wikipedia/images/math/4/6/f/46f70753e336acca1b4680fce01f4f03.png)
![\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}](/wikipedia/images/math/4/4/c/44c884d70b8daf9d1bbc54f5ceb6d73a.png)
![S_n\;](/wikipedia/images/math/4/6/f/46f70753e336acca1b4680fce01f4f03.png)
![S_{\infty}](/wikipedia/images/math/1/3/5/1351f873f925a603cd2cbe181184ed55.png)
Producto de términos de una progresión geométrica
Producto de términos de una progresión geométrica
El producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es:
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Véase en el siguiente videotutorial:
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Videotutorial