Plantilla:Perímetros y áreas

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Revisión de 17:04 9 oct 2014

Tabla de contenidos

Cuadrado

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=a^2 \;\!

  • Elementos:
a: lado.

ejercicio

Actividad interactiva: Cuadrado

Actividad 1: Deducción del área del cuadrado.

Actividad:
¿Cuál es el área del cuadrado? Es decir, ¿cuántos cuadraditos como el azul caben en el cuadrado?

Modifica el polígono arrastrando el punto verde.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2:

  1. Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 3 cm.
  2. El área de un cuadrado es 5,76 cm2 . Calcula su perímetro.

Actividad:
Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
Click aquí si no se ve bien la escena

wolfram

Actividad: Cuadrado

a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.
b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.
c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.
d) Halla el ángulo central de un cuadrado.
e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.
f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) square edge length 5 cm area
b) square edge length 3 m perimeter
c) square edge length 20 mm diagonal length
d) square central angle
e) square interior angle
f) square interior angle sum

Rectángulo

  • Perímetro:

P=2 \cdot a+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b: base.
a: altura.

ejercicio

Actividad interactiva: Rectángulo

Actividad 1: Deducción del área del rectángulo.

Actividad:
¿Cuál será el área del polígono inicial? Es decir, ¿cuántos cuadraditos como el azul caben en el rectángulo? ¿Por qué?

Modifica el polígono arrastrando los puntos verdes

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro.

Actividad:
Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
Click aquí si no se ve bien la escena

wolfram

Actividad: Recángulo

a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en m2.
b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en dam2
c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters
b) rectangle edge lengths 30 m, 5 dam perimeter in dekameters
c) rectangle edge lengths 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters

Paralelogramo

  • Perímetro:

P=2 \cdot c+2 \cdot b

  • Área:

A=a \cdot b

  • Elementos:
b: base.
a: altura.
c: lado
  • Nota:
El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

ejercicio

Actividad interactiva: Paralelogramo

Actividad 1: Deducción de la fórmula del área del paralelogramo.
Actividad:
El paralelogramo de la derecha tiene el mismo área que el rectángulo que tiene debajo. Para comprobarlo, mueve el punto que se indica y arrastralo hacia la izquierda.

Por tanto el área del paralelogramo es el mismo que el del rectángulo.

Deducción de la fórmula del área del paralelogramo
(Mueve el punto azul)
Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 2: La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2,8 cm. ¿Cual es el área y el perímetro del paralelogramo?
Actividad:
Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
Cálculo del área y del perímetro del paralelogramo
(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)
Click aquí si no se ve bien la escena

wolfram

Actividad: Paralelogramo

a) Halla el perímetro de un paralelogramo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm.
b) Halla el área de un paralelogramo de 50 cm de base y 2 dm de altura.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters
a) parallelogram width 5 cm heigth 2 dm area

Rombo

  • Perímetro:

P=4 \cdot a

  • Área:

A=\cfrac {D \cdot d}{2}

  • Elementos:
a: lado.
D: diagonal mayor.
d: diagonal menor.
  • Nota:
Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.

ejercicio

Actividad interactiva: Rombo

Actividad 1: Deducción del área del rombo.

Actividad:
Modifica el polígono arrastrando los puntos verdes
  • ¿Qué relación hay entre el área del rombo y la del rectángulo circunscrito?
  • ¿Cuál será la formula que permita calcular el área de un rombo a partir de sus diagonales? ¿Por qué?
Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 2: La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo.
Actividad:
Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
Cálculo del área y del perímetro del rombo
(Mueve los vértices para modificar la medida de los lados)
Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: Calcula el área de un cuadrado de 4 m. de diagonal.

a) Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar el lado.
b) Utilizando la fórmula del área del rombo.

Actividad:
El cuadrado es un rombo que tiene las diagonales iguales.

Para calcular el área del cuadrado puedes utilizar también la expresión del área del rombo. Comprueba en la figura que estas expresiones dan el mismo valor.

El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales
(Mueve el vértice B para modificar la medida del lado)
Click aquí si no se ve bien la escena

wolfram

Actividad: Rombo

a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en dm2.
b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters
b) rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters

Triángulo

  • Perímetro:

P=b+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {b \cdot a}{2}

  • Elementos:
b: base.
a: altura.
c, d: lados.
  • Nota:
Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

ejercicio

Actividad interactiva: Triángulo

Actividad 1: Deducción del área del triángulo.

Actividad:
Desliza el punto verde o utiliza los botones, observa lo que ocurre y razona:
  • ¿A qué otra área es igual la del triángulo?

Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar los puntos verdes.

  • ¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un triángulo en función de sus dimensiones? ¿Por qué?


Click aquí si no se ve bien la escena


En esta otra escena, mueve el deslizador (punto verde) y razona:

  • ¿A la mitad de qué otro área es igual la del triángulo?

Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar el punto verde.


Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 2: La base de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro.
Actividad:
Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales
(Mueve los vértices del triángulo para variar la medida de los lados)
Click aquí si no se ve bien la escena

ejercicio

Fórmula de Herón

La superficie de un triángulo de lados a, b, c viene dada por:

S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\,

donde p\; es el semiperímetro: p=\frac{a+b+c}{2}.

Demostración:

Nota: Esta demostración excede el nivel de este curso.

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente.

Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces tenemos que:

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

por el Teorema del coseno:

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud bsin(C), por tanto siguiendo con la demostración

S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})
\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)
\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}
\qquad = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.

wolfram

Actividad: Triángulo

a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en dm2.
b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.
c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1 m2.
d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters
b) triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area
c) isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths
c) equilateral triangle edge length 5cm area

Trapecio

  • Perímetro:

P=b+B+c+d\;\!

  • Área:

A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

  • Elementos:
B: base mayor.
b: base menor.
a: altura.
c, d: lados.

ejercicio

Actividad interactiva: Trapecio

1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.
Actividad:
Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base B+b\;\! y altura a\;\!.

El área del paralelogramo es:

(B+b) \cdot a

de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio:

\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}

Deducción de la fórmula del área del trapecio

(Mueve el punto rojo)
2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.
Actividad:
Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:
Cálculo del área y del perímetro de un trapecio

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)
3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.
Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y del perímetro de un trapecio rectángulo

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.
Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y el perímetro de un trapecio isósceles

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

wolfram

Actividad: Trapecio

a) Halla el área de un trapecio de bases 5cm y 7 cm y altura 4 cm.
b) Halla la altura de un trapecio de bases 5cm y 7cm y área 24 cm2.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) trapezoid base lengths 5cm, 7cm height 4cm area
b) trapezoid base lengths 5cm, 7cm area 24cm^2 height

Polígonos regulares

Imagen:poligono.png

  • Perímetro:

P=n \cdot b

  • Área:

A=\cfrac {P \cdot a}{2}

  • Elementos:
b: lado.
a: apotema.
  • Nota:
n: número de lados.

ejercicio

Actividad interactiva: Polígono regulares

Actividad 1: Deducción del área de un polígono regular.

Actividad:
Desliza el punto verde y observa
  • ¿A qué otro área es igual la del pentágono regular?
  • ¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un pentágono regular en función de sus dimensiones? ¿Por qué?
  • ¿Y la de un polígono regular de n lados?


Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2:

  1. Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.
  2. Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)

Actividad:
Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:
Calculo del área y del perímetro de un polígono regular.
(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)
Click aquí si no se ve bien la escena

Pero, para determinar el área, necesitamos conocer, además del lado, la apotema. Si conocemos uno de ellos y el radio, podemos hallar el otro por el Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente escena:

Calculo de la apotema, lado o radio de un polígono regular.
(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)
Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: Cálculo del área y del perímetro de un polígono regular.

Actividad:
En esta escena puedes comprobar el área, perímetro, apotema y lado de un polígono regular haciendo variar al radio.

Desliza el punto verde para modificar el número de lados.


Click aquí si no se ve bien la escena

wolfram

Actividad: Polígonos regulares

a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado.
b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio.
c) Halla el ángulo central de un pentágono regular.
d) Halla el ángulo interior de un octógono regular.
e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales.
f) Halla el área (en dm2) de un hexágono regular de 4 cm de apotema.
g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) regular hexagon edge length 5cm area
b) regular hexagon radius 3m perimeter
c) regular pentagon central angle
d) regular octagon interior angle
e) regular 9-gon interior angle sum in deg
f) regular 6-gon apothem 4cm area in dm^2
g) regular 6-gon radius 3 m incircle

Círculo

Imagen:circulo.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot r

  • Área:

A=\pi \cdot r^2

  • Elementos:
r: radio.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

ejercicio

Actividad interactiva: Círculo

Actividad 1: Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.

Actividad:
Desliza el punto verde y observa
Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Aproximación a la fórmula del área del círculo.

Actividad:
Desliza el punto verde y observa


Click aquí si no se ve bien la escena
Actividad 3: En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.
Actividad:
Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:
Calculo del área y del perímetro de un círculo.
Click aquí si no se ve bien la escena
wolfram

Actividad: Círculo

a) Halla el área de un círculo de 3m de radio.
b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.
c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18 π m.

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) circle radius 3m area
b) circle radius 3m perimeter
c) circle perimeter 18*pi m area

Corona circular

Imagen:corona.png

  • Perímetro:

P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)

  • Área:

A=\pi \cdot (R^2-r^2)

  • Elementos:
r, R: radios respectivos.
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

ejercicio

Actividad interactiva: Corona circular

1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.
Actividad:
Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:
Calculo del área de una corona circular
(Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño)
Click aquí si no se ve bien la escena

Sector circular

  • Perímetro:

l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r

  • Área:

A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}

  • Elementos:
r: radio.
l: arco.
\alpha\;\!: ángulo (en grados sexagesimales).
  • Nota:
\pi\;\!: número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

Demostración: 

La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.


\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}

Despejando el área del sector:

A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}


de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, \pi r^2\;\!, se obtiene la fórmula.


Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.


\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}

Despejando la longitud del sector:

L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}


de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, 2 \pi r\;\!, se obtiene la fórmula.

ejercicio

Actividad interactiva: Sector circular

1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.
Actividad:
Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:
Calculo del área de un sector circular
(Mueve el punto B para modificar el ángulo)
Click aquí si no se ve bien la escena
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