Conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros.

Al definir un conjunto es habitual meter sus elementos entre llaves:

• Por comprensión: mediante una propiedad que todos sus elementos poseen.
• Por extensión: mediante la lista de todos sus elementos.

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por o simplemente { }.

El conjunto universal, que denotaremos por U, es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado.

Un elemento se dice que «pertenece» al conjunto y se denota mediante el símbolo , si forma parte de él. Este símbolo lo introdujo Peano. La expresión se lee «a pertenece a A». Para la noción contraria se usa el símbolo .

Dos conjuntos A y B, son iguales (A=B) si y sólo si tienen los mismos elementos (Axioma de extensionalidad).

• Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, por extensión o por comprensión, y ser el mismo conjunto.
• El orden en el que se listan los elementos no se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos.
• Un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Si en la lista aparece un elemento repetido es como si sólo apareciese una vez.
• Existe un único conjunto vacío, ya que lo único que distingue a un conjunto son sus elementos.

• Un conjunto B es un subconjunto del conjunto A si cada elemento de B es a su vez un elemento de A. Lo denotaremos . También puede escribirse y decirse que B está incluido en A, que A contiene a B, que B está contenido en A, que A incluye a B o que A es un superconjunto de B.
• B es un subconjunto propio de A si es un subconjunto de A pero no es igual a A. Lo denotaremos ó

• Unión: La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como , es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos.

• Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B, que se representa como , es el conjunto de todos los elementos comunes a los dos conjuntos.

• Diferencia: La diferencia del conjunto A con el onjunto B es el conjunto que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.

• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto universal U que lo contiene.

• Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano: El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) formados con un primer elemento "a" perteneciente a A, y un segundo elemento "b" perteneciente a B.

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Es decir, su intersección es el conjunto vacio.

• Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del conjunto. El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal. El cardinal se denota por , ó .
• En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso, por ejemplo, de los números naturales. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, de manera que existen conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número transfinito.