Límite de una sucesión (1ºBach)

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Revisión de 11:12 15 ago 2016

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Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones

Tabla de contenidos

1 Representación gráfica de una sucesión
- 1.1 Ejercicios
2 Aproximación a la idea de límite de una sucesión
- 2.1 Sucesiones que no tienen límite
- 2.2 Ejercicios
3 Ejercicios
4 Videotutoriales sobre límite de sucesiones

Representación gráfica de una sucesión

(pág. 57)

Para representar gráficamente una sucesión $a_n\;$ , construiremos una tabla donde anotaremos el valor de $a_n\;$ para distintos valores de n.

Las parejas $(n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

Ejercicios resueltos: Representación gráfica de una sucesión

Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

b) $a_{n} = n^2-2n\;$

Solución:

a) $a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}$

Construimos la tabla de valores:

n	1	2	3	4	5	100	1000
a_n	1.25	2	2.5	2.85	3.1	4.85	4.98

Se observa que los términos de la sucesión se acercan cada vez mas a 5. Concluiremos diciendo que el límite de esta sucesión es 0, y lo escribiremos simbólicamente de la siguiente manera:

$lim \ a_n = lim \ \cfrac{5n}{n+3} = 5$

b) $a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n \;$

Construimos la tabla de valores:

n	1	2	3	4	5	100	1000
a_n	-3.8	-7.20	-10.2	-12.8	-15	1600	196000

Se observa que los términos crecen y se hacen indefinidamente grandes. Concluiremos diciendo que el límite de esta sucesión es $+ \infty\;$ , y lo escribiremos simbólicamente de la siguiente manera:

$lim \ a_n = lim \ \cfrac{n^2}{5}-4n = + \infty$

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

Ejercicios

(pág. 57)

Actividad: Representación gráfica y límite de una sucesión

1. Dada la sucesión $a_n=-n^2 \;$

a) Elabora una tabla de valores para n=1,2,...,10.

b) Representa gráficamente los puntos de esa tabla.

c) Calcula $lim \ -n^2$

2. Dada la sucesión $a_n={1 \over n} \;$

a) Elabora una tabla de valores para n=1,2,...,10.

b) Representa gráficamente los puntos de esa tabla.

c) Calcula $lim \ {1 \over n}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Table[-n^2,{n,1.,10.}] o Table[-n^2,{n,1.,1000.,100}]

b) Plot Table[-n^2,{n,1.,1000.,100}]

c) limit -n^2 as n->+oo

a) Table[1/n,{n,1.,10.}]

b) Plot Table[1/n,{n,1,10}]

c) limit 1/n as n->+oo

Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente la sucesión $a_n=\cfrac{4n+10}{2n-1}$ y asígnale un valor a su límite.

2. Representa gráficamente la sucesión $a_n=\cfrac{n^2}{4}-2n+3$ y asígnale un valor a su límite.

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones.

Aproximación a la idea de límite de una sucesión

(pág. 58)

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ se aproximan a un número $l \in \mathbb{R}$ , decimos que dicha sucesión tiende a $l\;$ o que su límite es $l\;$ . Lo escribiremos simbólicamente:

$a_n \rightarrow l$ o bien $lim \ a_n = l\;$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ crecen indefinidamente, superando a cualquier número, decimos que dicha sucesión tiende a $+\infty \;$ o que su límite es $+\infty \;$ . Lo escribiremos simbólicamente:

$a_n \rightarrow +\infty$ o bien $lim \ a_n = +\infty \;$

Cuando los términos de una sucesión $a_n\;$ decrecen indefinidamente, tomando valores infriores a cuialquier número negativo, decimos que dicha sucesión tiende a $-\infty \;$ o que su límite es $-\infty \;$ . Lo escribiremos simbólicamente:

$a_n \rightarrow -\infty$ o bien $lim \ a_n = -\infty \;$

Cuando el límite es un número finito la sucesión se dice que es convergente y si es infinito, divergente.

Sucesiones que no tienen límite

(pág. 58)

Hay sucesiones que no cumplen ninguna de las tres condiciones expuestas en el apartado anterior. Dichas sucesiones diremos que no tienen límite.

Ejemplo: Sucesión oscilante

La siguiente sucesión no tiene límite

$a_n=(-1)^{n+1} \cdot n$

Solución:

En efecto, los términos de esta sucesión son:

$-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ -7,\ 8,\ \cdots$

Se trata de una sucesión oscilante. No es divergente ni convergente, es decir, no tiene límite. Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a $+\infty \;$ y los pares a $-\infty \;$ . (Ver imagen de la derecha)

Ejercicios

(pág. 59)

Ejercicios resueltos: Aproximación a la idea de límite de una sucesión

1.Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) $a_n=3+\frac{10}{n}$

b) $b_n=\frac{n^2-n}{2}$

c) $c_n=7n-n^2 \;$

2.Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) $a_n=(-3)^n \;$

b) $b_n=(-1)^n \cdot \frac{n+2}{n}$

c) $c_n=\frac{(-1)^n}{n}$

Solución:

Utiliza Wolfram para resolverlos.

Ejercicios propuestos: Aproximación a la idea de límite de una sucesión

1.Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) $a_n=\frac{2n-3}{6} \;$

b) $b_n=\frac{2n-3}{n+5}$

c) $c_n=3-2^n \;$

d) $c_n=5- \frac{1}{n^3} \;$

2.Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) $a_n=-\frac{2}{n^2} \;$

b) $b_n=(-1)^n \cdot \frac{n}{n+4}$

c) $c_n=(-1)^n \cdot n$

d) $c_n=(-1)^n \cdot \frac{2}{n^2}$

Solución:

Utiliza Wolfram para comprobar las soluciones.

Ejercicios

Ejercicio: Límite de una sucesión

1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) $a_n=n^2\;$

b) $a_n=\cfrac{7n}{n+1}$

c) $a_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}$

d) $a_n=(-1)^n \cdot (2n+1)$

e) $a_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}$

f) $a_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}$

g) $a_n=\cfrac{90n+90}{n^2}$

h) $a_n=\sqrt{4n+5}$

i) $a_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$

j) $a_n=\cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2}$

Solución:

Límites:

a) $lim \ a_n=lim \ n^2 = +\infty \;$

b) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{7n}{n+1} = 7$

c) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{n^2-6n-1}{5n+1} = +\infty$

d) $lim \ a_n=lim \ (-1)^n \cdot (2n+1) =$ (No tiene límite) Es oscilante

e) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{n^2-2}{2n^2+1} = \cfrac{1}{2}$

f) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1} = +\infty$

g) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{90n+90}{n^2} = 0$

h) $lim \ a_n=lim \ \sqrt{4n+5} = +\infty$

i) $a_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}$ (No tiene límite) Es oscilante.

j) $lim \ a_n=lim \ \cfrac{(-1)^n \cdot (n+5)}{n^2} = 0$

Representación gráfica:

En la siguiente escena tienes la representación gráfica de las sucesiones. Pulsa los cursores "sucesión" para cambiar de sucesión. Haz uso del zoom y del cambio de escala O.x y O.y para visualizar mejor los resultados. Mueve el punto amarillo para ver la sucesión término a término.

Click aquí si no se ve bien la escena

Videotutoriales sobre límite de sucesiones

Ssucesiones de números reales (17´44") Sinopsis:

Concepto de sucesión de números reales. Ejemplos.
Introducción de la notación necesaria para el comcepto de límite de una sucesión de números reales.

Visualización de una sucesión de números reales (11´36") Sinopsis:

Videotutorial

Límite de una sucesión de números reales (11´15") Sinopsis:

Definición rigurosa de límite de una sucesión de números reales.
Ejemplos
Visualización del concepto de límite

Ejercicio (10´35") Sinopsis:

Videotutorial

Límites infinitos (21´27") Sinopsis:

Videotutorial

Propiedades aritméticas de los límites (14´20") Sinopsis:

Videotutorial

Indeterminaciones matemáticas (8´10") Sinopsis:

Videotutorial

Infinitos potenciales (6´54") Sinopsis:

Videotutorial

Cociente de infinitos potenciales (9´09") Sinopsis:

Videotutorial

Otros infinitos (13´01") Sinopsis:

Videotutorial

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/L%C3%ADmite_de_una_sucesi%C3%B3n_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 ==Videotutoriales sobre límite de sucesiones==
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Límite de una sucesión (1ºBach)

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Sucesiones que no tienen límite

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