Algunos límites importantes (1ºBach)

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Demostraremos sólo que esta sucesión tiene límite. Demostrar que el límite es el número <math>e \;</math> excede el nivel del curso. Demostraremos sólo que esta sucesión tiene límite. Demostrar que el límite es el número <math>e \;</math> excede el nivel del curso.
-Para la demostración usaremos un teorema que dice que '''"''Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente''"'''.+Para la demostración usaremos el teorema dice que "Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente".
En este caso, nuetra sucesión es monotona creciente y acotada superiormente. Veámoslo: En este caso, nuetra sucesión es monotona creciente y acotada superiormente. Veámoslo:

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Tabla de contenidos

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El número e

ejercicio

La sucesión del número e

El número e\;, se define como el límite de una sucesión:
lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...

ejercicio

Otra sucesión del número e

Dada la sucesión:
a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}
se cumple que:
lim \, a_n= e \;
Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)
Aumentar
Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci

F_n\; = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}

se cumple que:

lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618... (número áureo)


Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica

Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos
  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}
  • Si r\ge 1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \; o -\infty:
S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r\le -1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.

Ejercicios

wolfram

Actividad: Algunos límites importantes

1. Dada la sucesión de Fibonacci F_n \;
a) Calcula sus 10 primeros términos.
b) Calcula los 10 primeros términos de \frac{F_{n+1}}{F_{n}}.
c) Calcula lim \ \frac{F_{n+1}}{F_{n}}

2. Dada la sucesión \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n
a) Calcula sus 10 primeros términos.
b) Calcula lim \ \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n

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