Algunos límites importantes (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 El número e
2 El número áureo,
3 Suma de los términos de una progresión geométrica
4 Actividades

(Pág. 64)

El número e

La sucesión del número e

El número $e\;$ , se define como el límite de una sucesión:

$lim \left ( 1+ \cfrac{1}{n} \right )^n= e = 2.7182...$

Demostración:

La demostración excede el nivel de este curso. Ver demostración.

Otra sucesión del número e

Dada la sucesión:

$a_n=1+\cfrac{1}{1!}+\cfrac{1}{2!}+\cfrac{1}{3!}+...+\cfrac{1}{n!}$

se cumple que:

$lim \, a_n= e \;$

Demostración:

Demostraremos sólo que esta sucesión tiene límite. Demostrar que el límite es el número $e \;$ excede el nivel del curso.

Para la demostración usaremos el teorema dice que "Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente".

En este caso, nuetra sucesión es monotona creciente y acotada superiormente. Veámoslo:

Es creciente:

Si, puesto que cada término se obtiene sumando al anterior un número positivo:

$a_{n+1}=a_n+\cfrac{1}{(n+1)!}$

Está acotada superiormente por 3:

En efecto, como

$\cfrac{1}{3!}<\cfrac{1}{4}, \ \cfrac{1}{4!}<\cfrac{1}{8}, \ \cfrac{1}{5!}<\cfrac{1}{16}, ...$

tenemos que

$a_n < 1 + 1 + \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{4} + \cfrac{1}{8} + \cfrac{1}{16}+ ...=1+ \left( \cfrac{1}{1-\frac{1}{2}} \right)=1+2=3$

donde hemos hecho uso de la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón 1/2.

Leonard Euler: El número e, base de los logaritmos neperianos, lleva este nombre en su honor (inicial de su apellido)

Un número llamado e (13') Sinopsis:

Hay números que nos sorprenden por su tendencia a aparecer en las situaciones más inesperadas. ¿ Qué pueden tener en común los cables del tendido eléctrico, las cuentas bancarias, el desarrollo de una colonia de bacterias, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, las encuestas de población, la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado 100 veces...? Aparentemente nada. Sin embargo en todas estas situaciones interviene un extraño número comprendido entre 2 y 3, que tiene infinitas cifras decimales y un origen un tanto exótico. Al igual que el más famoso número pi, los matemáticos le conocen mediante una letra. Es un número llamado e.

(Pág. 65)

El número áureo, $\phi \;$

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci

$F_n\;$ = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...,

construimos, por recurrencia, la sucesión

$b_n=\cfrac{F_{n+1}}{F_n}$

Entonces, esta sucesión tiende al número áureo:

$lim \ b_n= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi$

Demostración:

Comprobación: Si en la sucesión de Fibonacci

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots$

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

$\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots$

que expresada con decimales nos da:

$1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi$

Demostración:

Por construcción de la sucesión de Fibonacci:

$F_{n+1}=F_n + F_{n-1} \;$

Dividiendo ambos miembros por $F_n \;$ :

$\frac {F_{n+1}}{F_n}=1 + \frac {F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{\cfrac {F_n}{F_{n-1}}}$

Tomando límites en ambos miembros:

$lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac {1}{lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}}$

Llamando $L = lim \ \frac {F_{n+1}}{F_n}=lim \ \cfrac {F_n}{F_{n-1}}$ , tenemos:

$L = 1 + \frac {1}{L} \longrightarrow L^2-L-1=0$

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

$L = \frac {1+\sqrt{5}}{2} = \phi$

con lo que queda demostrado.

La divina proporción: el número phi (6') Sinopsis:

Documental sobre el número aureo.

El número aureo (18´) Sinopsis:

El programa presenta a este exótico número ya conocido por los griegos. Veremos cómo se obtiene, qué son los rectángulos áureos y su presencia en infinidad de manifestaciones artísticas, en Pintura, Arquitectura, Escultura... a lo largo de la historia. Pero el número de oro no es un mero invento del hombre, la naturaleza nos sorprende de una forma que no puede ser casual, tanto en el mundo vegetal como en el animal, como en multitud de fenómenos físicos, con acontecimientos en los que este famosos número hace acto de presencia.

Phi, el número de oro Descripción:

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

Suma de los términos de una progresión geométrica

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica

Sea $a_n\;$ una progresión geométrica de razón $r\;$ y sea $S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}$ la suma de sus n primeros términos

Si $0<\; \mid r \mid \; <1$ , entonces el límite de $S_n\;$ existe y su valor es:

$S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}$

Si $r\ge 1\;$ , entonces el límite de $S_n\;$ es $+\infty \;$ o $-\infty$ :

$S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

Si $r\le -1\;$ , entonces el límite de $S_n\;$ no existe.

Demostración:

Si $0<\; \mid r \mid \; <1$ , entonces

$lim \ r^n = 0 \;$ y $lim \ a_1 r^n = 0$ .

(Por ejemplo, si $a 1 = 3$ y $r = 0.5$ , al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)

y por tanto

$S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}$

Si $r>1\;$ , entonces

$lim \ r^n \; = +\infty$ y $lim \ a_1 r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

(Por ejemplo, si $a 1 = 3$ y $r = 5$ , al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a $+\infty$ . Mientras que si $a 1 = - 3$ y $r = 5$ , al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a $-\infty$ )

y por tanto

$S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

Si $r<-1\;$ , entonces $a_1 r^n\;$ va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión $S_n\;$ también va a oscilar en signo y no tiene límite.