Plantilla:Fracciones algebraicas

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Revisión de 17:00 9 sep 2016

Tabla de contenidos

Fracción algebraica

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios, siendo el denominador no nulo.

\cfrac{P(x)}{Q(x)} ~, \quad Q(x) \ne 0

Ejemplos: 

Son fracciones algebraicas:

\cfrac{x-3}{x^2}\ ;\quad \cfrac{1}{x+2}\ ; \quad \cfrac{x^3-2x^2+x-1}{3x^2+2}

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones niuméricas a la hora de opera con ellas.

Operaciones con fracciones algebraicas

Simplificar fracciones algebraicas

Para simplificar fracciones algebraicas, se factorizan numerador y denominador y se simplifican los factores comunes. La fracción algebraica obtenida se dice que es equivalente a la de partida.

ejercicio

Ejemplos: Simplificar fracciones algebraicas

Simplifica: \cfrac {4x(x-2)^2}{8x^2(x-2)}
Solución:

Como aquí ya tenemos factorizados el numerador y el denominador, sólo nos queda simplificar los factores comunes:

\cfrac {4x(x-2)^2}{8x^2(x-2)}=\cfrac {4 \cdot x \cdot (x-2) \cdot (x-2)}{4 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot (x-2)}= \cfrac {(x-2)}{2x}

wolfram
Simplificación de fracciones algebraicas
wolfram

Actividad: Simplificación de fracciones algebraicas

Simplifica:
a) \cfrac{2x^2-2x}{4x^3-2x^2}


b) \cfrac{x^3(x^2-4)}{2x^2-4x}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) simplify (2x^2-2x)/(4x^3-2x^2)
b) simplify (x^3*(x^2-4))/(2x^2-4x)

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.

ejercicio

Ejemplos: Suma y resta de fracciones algebraicas

Opera: \cfrac {2}{x-3} + \cfrac {5}{x}
Solución:

Reducimos a común denominador ambas fracciones, usando el m.c.m. de los denominadores que es x(x-3) \;\!

\cfrac {2}{x-3} + \cfrac {5}{x} = \cfrac {2x}{x(x-3)} + \cfrac {5(x-3)}{x(x-3)}=

Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:

=\cfrac {2x+5(x-3)}{x(x-3)}=\cfrac {2x+5x-15}{x(x-3)}=\cfrac {7x-15}{x(x-3)}

Producto de fracciones algebraicas

Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

ejercicio

Ejemplos: Producto de fracciones algebraicas

Opera: \cfrac {2x}{x-1} \cdot \cfrac {3x+5}{x^2}
Solución:

Multiplicamos numeradores y denominadores, pero lo dejamos indicado:

\cfrac {2x \cdot (3x+5)}{(x-1) \cdot x^2 }

Simplificamos antes de efectuar el producto:

\cfrac {2 \cdot (3x+5)}{(x-1) \cdot x }

Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso:

\cfrac {6x+10}{x^2-x}

Cociente de fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.

ejercicio

Ejemplos: Cociente de fracciones algebraicas

Opera: \cfrac{2x}{x+1}:\cfrac{x^2}{x-2}
Solución:

Hacemos el producto cruzado, dejándolo indicado:

\cfrac {2x \cdot (x-2)}{(x+1) \cdot x^2}

Simplificamos:

\cfrac {2 \cdot (x-2)}{(x+1) \cdot x}

Finalmente, podemos multiplicar, si es preciso:

\cfrac {2x-4}{x^2+x}

Actividades

wolfram
Operaciones con fracciones algebraicas
wolfram

Actividad: Operaciones con fracciones algebraicas

Opera:
a) \cfrac{x-2}{x}+\cfrac{x+3}{x^2}-\cfrac{1-x}{3x}


b) \cfrac{x^3}{x-4} \cdot \cfrac{2x-8}{x}

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) simplify (x-2)/x+(x+3)/x^2-(1-x)/(3x)
b) simplify ((x^3)/(x-4))*((2x-8)/x)

Fracciones algebraicas (4´47")     Sinopsis:
  • Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) no es el polinomio nulo, llamamos fracción algebraica a toda expresión de la forma P(x)/Q(x).
  • Las fracciones algebraicas A(x)/B(x) y C(x)/D(x) se dicen equivalentes si A(x).D(x) = C(x).D(x), y se escribe A(x)/B(x) = C(x)/D(x).
  • Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica se multiplican por un polinomio no nulo, resulta una fracción algebraica equivalente.
  • Si el numerador y el denominador de una fracción algebraica son divisibles por un mismo polinomio, y se dividen, resulta una fracción algebraica equivalente, diciéndose que la primera fracción algebraica se ha "simplificado".

3 ejercicios sobre fracciones algebraicas (5´46")     Sinopsis:

Videotutorial.

4 ejercicios sobre fracciones algebraicas (6´14")     Sinopsis:

Videotutorial.

Suma de fracciones algebraicas (6´39")     Sinopsis:

Videotutorial.

Ejemplo de suma y resta de fracciones algebraicas (6´48")     Sinopsis:

Videotutorial.

Producto y cociente fracciones algebraicas (3´21")     Sinopsis:

Videotutorial.

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios propuestos: Fracciones algebraicas

(Pág. 77)
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