Operaciones con números naturales (1º ESO)

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Revisión de 14:23 18 sep 2016

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Tabla de contenidos

1 Suma y resta de números naturales
2 Multiplicación o producto de números naturales
3 División de números naturales
4 Operaciones combinadas
- 4.1 Ejercicios propuestos

(Pág. 12)

Suma y resta de números naturales

Suma

Sumar es unir, juntar, añadir.

Propiedades de la suma de números naturales

Propiedades de la suma

Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

$a+b = b+a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 + 6 = 6 + 8\,$

$14 = 14\,$

Asociativa:

$( 3 + 2 ) + 6 = 3 + ( 2 + 6 )\,$

$5 + 6 = 3 + 8\,$

$11 = 11\,$

Cálculo mental con sumas Descripción:

Cálculo mental con sumas.

Resta

Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.

Cálculo mental con restas Descripción:

Cálculo mental con restas.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Sumas y restas

(Pág. 12)

4, 5

1, 2

(Pág. 13)

Multiplicación o producto de números naturales

Multiplicar, es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

Ejemplo

Si un comerciante vende 5 equipos de sonido a 250 € cada uno, el dinero que ingresa es:

$250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250$ €

Cálculo mental con multiplicaciones Descripción:

Cálculo mental con multiplicaciones.

Asocia los factores con su producto Descripción:

Propiedades de la multiplicación de números naturales

Propiedades de la multiplicación

Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

$a \cdot b = b \cdot a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o rsta) de los productos del número por cada sumando.

$a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 \cdot 6 = 6 \cdot 8\,$

$48 = 48\,$

Asociativa:

$( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,$

$6 \cdot 6 = 3 \cdot 12\,$

$36 = 36\,$

Distributiva:

$3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \,$

$3 \cdot 8 = 6 + 18 \,$

$24 = 24\,$

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

Solución:

Podemos resolver el problema de dos formas:

Primera forma:

Alfredo-----> $15 \cdot 4 = 60$

Teresa------> $15 \cdot 2 = 30$

Total---------> $15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\,$ €

Segunda forma:

Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas

Luego en total gastan entre los dos: $15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90$ €

Propiedad distributiva Descripción:

Asocia las expresiones numéricas equivalentes.

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

Ejemplos

$12 \cdot 10 = 120$
$12 \cdot 100 = 1200$
$12 \cdot 1000 = 12000$

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Multiplicación

(Pág. 13)

7, 10, 11

(Pág. 14-15)

División de números naturales

Dividir consiste en repartir una cantidad en partes iguales o partir en partes de un determinado tamaño. Mas concretamente:

Sean $D\;$ y $d\;$ dos números naturales, con $d \ne 0$ .

La división o cociente de entre consiste en ver cuantas veces está contenido en .
- Se representa por $D : d=c\;$ .
- A $D\;$ lo llamaremos dividendo, a $d\;$ divisor y al resultado de la división, $c\;$ , cociente.

Vamos a distinguir dos casos:
- Si $d\;$ está contenido en $D\;$ un número "exacto" de veces (el cociente, $c\;$ , es un número natural tal que $D=d \cdot c\;$ ), diremos que la división es exacta.
- En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural $r\;$ , menor que $d\;$ , de manera que si dividimos $D-r\;$ entre $d\;$ , la división es exacta. A dicho número $r\;$ lo llamaremos resto o residuo de la división.

20:4 = 5

Algoritmo de la división

Dados $D\;\!$ y $d\;\!$ , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, $c\;\!$ y $r\;\!$ , tales que:

$D=d \cdot c + r$

$D\;\!$ es el dividendo, $d\;\!$ el divisor, $c\;\!$ el cociente y $r\;\!$ el resto.

Demostración:

Ver demostración en Wikipedia

Cálculo mental con divisiones Descripción:

La división entera Descripción:

Cálculo con divisiones.

División

Actividad: Cociente y resto

Calcula:

a) El cociente de dividir 123 entre 20.

b) El resto de dividir 123 entre 20.

c) Comprueba que se cumple el algoritmo de la división con los apartados anteriores.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Quotient[123,20]

b) Remainder[123,20]

c) 123=20*Quotient[123,20]+Remainder[123,20]

Cociente por defecto y por exceso

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?

b) ¿Cuántos taxis se necesitan?

c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

Solución:

a) Completan 10 taxis y sobran 3 turistas. ( $43= 10 \cdot 4 + 3$ )
b) Se necesitan 11 taxis, aunque en el último taxi quede un asiento libre.

c) El cociente por defecto sería 10 y el cociente por exceso sería 11.

Propiedades de la división de números naturales

Propiedades

La división de de números naturales no siempre es un número natural
La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

Ejemplo:

Hagamos la división $360 : 50 \;$

$360 =50 \cdot 7 + 10 \;$ (Cociente=7; Resto=10)

Ahora dividimos el dividendo y el divisor por 10:

$360:10=36 \, ; \qquad 50:10=5 \;$

y volvemos a hacer la división:

$36 = 5 \cdot 7 + 1 \;$ (Cociente=7; Resto=1)

Es decir, el cociente no varía y el resto queda dividido por 10.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: División

(Pág. 15)

14, 16, 19

12, 15, 17, 18

(Pág. 16-17)

Operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones

Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:

Las multiplicaciones y las divisiones.
Las sumas y las restas.

Observaciones:

Cuando aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se puede optar por cambiar los paréntesis más exteriores por corchetes, con el fin de facilitar la lectura de la operación.
Cuando resuelvas los paréntesis puedes completar las operaciones que encierren o aplicar la propiedad distributiva.
En cada uno de los pasos que des para resolver una expresión con operaciones combinadas se puede llevar a cabo más de una operación, siempre que no suponga romper el orden que acabamos de establecer.
No se incluyen las potencias ni las raíces en este esquema, pues estas operaciones se veran en otro tema. Lo que haremos será resolverlas después de resolver los paréntesis, antes de las multiplicaciones y divisiones.

Ejemplo:

Efectúa las siguientes operaciones combinadas: $8+4 \cdot (5-2)$

Solución:

Los paréntesis $\rightarrow 8+4 \cdot (5-2)= 8 + 4 \cdot 3$
Las multiplicaciones y divisiones $\rightarrow 8 + 4 \cdot 3 = 8 + 12$
Las sumas y restas $\rightarrow 8 + 12 = 20$

Operaciones combinadas

Actividad: Operaciones combinadas

Calcula:

a) $12+3 \cdot 2-(5-3)$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 12+3·2-(5-3)

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: División

(Pág. 17)

1a,b,c; 3a,c,e; 4a,c,e; 5, 6

1d,e,f,g,h; 3b,d,f,g,h; 4b,d,f,g,h

Solución:

Usa la calculadora o Wolfram-Alpha para comprobar las soluciones:

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Operaciones_con_n%C3%BAmeros_naturales_%281%C2%BA_ESO%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 |titulo=Ejemplo: ''Cociente por defecto y por exceso''
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-:Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.
+Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.
-::a) ¿Cuántos taxis completarán?
+:a) ¿Cuántos taxis completarán?
-::b) ¿Cuántos taxis se necesitan?
+:b) ¿Cuántos taxis se necesitan?
-::c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?
+:c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?
 {{p}}
 |sol=
 }}
 {{p}}
 ===Propiedades de la división de números naturales===
 {{Teorema_sin_demo||titulo=Propiedades|enunciado=

Operaciones con números naturales (1º ESO)

De Wikipedia

Revisión de 14:23 18 sep 2016

Tabla de contenidos

Suma y resta de números naturales

Suma

Propiedades de la suma de números naturales

Resta

Ejercicios propuestos

Multiplicación o producto de números naturales

Propiedades de la multiplicación de números naturales

Producto por 10, 100, 1000, ....

Ejercicios propuestos

División de números naturales

Cociente por defecto y por exceso

Propiedades de la división de números naturales

Ejercicios propuestos

Operaciones combinadas

Ejercicios propuestos

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