Resolución de triángulos cualesquiera (1ºBach)

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Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro .

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que es un diámetro, y además los ángulos y son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abarcan el mismo arco . Por la definición de seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

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Notemos que el teorema de los cosenos es equivalente al teorema de Pitágoras cuando el ángulo es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos cuando dicho ángulo es agudo u obtuso.

Primer caso: es agudo.

Consideremos la figura adjunta. La altura divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras aplicado a ambos establece que      y      Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos Por la definición de coseno, se tiene: Sustituimos el valor de en la expresión para y simplificamos: concluyendo que y terminando con esto la prueba del primer caso.

Segundo caso: es obtuso.

Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente que      y      Combinando ambas ecuaciones obtenemos De la definición de coseno, se tiene: Sustituimos en la expresión para y simplificamos concluyendo nuevamente

Esto concluye la demostración.

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Aplicamos el teorema del coseno al triángulo AOD:

Ahora aplicamos el teorema del coseno al triángulo AOB