Operaciones con potencias (1ºESO)

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Tabla de contenidos

1 Propiedades de las potencias de números naturales
2 Ejercicios propuestos

(Pág. 31)

Propiedades de las potencias de números naturales

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Ejemplos:

Producto de potencias de la misma base:

$\begin{matrix} 5^4 \cdot 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ \cdot \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4+3} = 5^7 \\ \; \end{matrix}$

Potencia de un producto:

$(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 8 \cdot 27 = 216$

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.

Potencia de un cociente:

$(6 : 3)^3 = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$6^3 : 2^3 = 16 : 27 = 8\;$

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.

Potencia de otra potencia:

$(5^4)^3 = 5^4 \cdot 5^4 \cdot 5^4 = 5^{4+4+4} = 5^{4 \cdot 3} = 5^{12}$

Potencia cero: Cuando se vio la definición de potencia, dijimos que $a^0 = 1\;$ por convenio. Expliquemos ésto ahora un poco mejor:

$\left.\begin{matrix} 5^3:5^3 =5^{3-3}=5^0 \\ 5^3:5^3=125:125=1 \end{matrix}\right\} \ \rightarrow \ 5^0 = 1$

Producto de potencias de la misma base Descripción:

Para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.

El producto de varias potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Cociente de potencias de la misma base Descripción:

Para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.

El cociente de dos potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la resta de los exponentes.

Potencia de una potencia Descripción:

Para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.

La potencia de una potencia equivale a una potencia simple cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

Potencia de un producto Descripción:

Para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.

La potencia de un producto equivale al producto de potencias cuyas bases son cada uno de los factores y cuyo exponente es el mismo.

(Pág. 31-32)

Ejercicios resueltos: Operaciones con potencias

a) Calcula por el camino más sencillo: $5^6 \cdot 2^6\;$

b) Calcula por el camino más sencillo: $12^3 : 4^3\;$

c) Calcula con la ayuda de las propiedades: $(6^4 \cdot 5^4):15^4\;$

d) Calcula con la ayuda de las propiedades: $(8^3)^2 :(8^3 \cdot 8^2)\;$

e) Reduce a una sola potencia: $(a^2 \cdot a)^4 :(a^6:a^3)^3\;$

Solución:

a) Aplicando la propiedad 3:

$5^6 \cdot 2^6 = (5 \cdot 2)^6 = 10^6 = 1\,000\,000$

b) Aplicando la propiedad 4:

$12^3 : 4^3 = (12 : 4)^3 = 3^3 = 27\;$

c) Aplicando la propiedad 3:

$(6^4 \cdot 5^4):15^4 = (6 \cdot 5)^4 : 15^4 = 30^4 : 15^4=$

y aplicando la propiedad 4:

$= (30 : 15)^4 = 2^4 =16\;$

d) Aplicando las propiedades 5 y 1:

$(8^3)^2 :(8^3 \cdot 8^2) = 8^{3 \cdot 2} : 8^{3+2} = 8^6 : 8^5=$

y aplicando la propiedad 2:

$= 8^{6-5} = 8^1 = 8\;$

e) Por las propiedades 1 y 2:

$(a^2 \cdot a)^4 :(a^6:a^3)^3= (a^{2+1})^4 : (a^{6-3})^3 =(a^3)^4 : (a^3)^3=$

y por las propiedades 5 y 2:

$= a^{12} : a^9 = a^{12-9} = a^3\;$

Actividades: Operaciones con potencias Descripción:

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Operaciones con potencias

(Pág. 33)

3; 6a,c,e; 7a,d; 8a,d; 9; 10

1; 2; 4; 5; 6b,d,f; 7b,c,e,f; 8b,c,e,f

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Categorías: Matemáticas | Números

 :c) Aplicando la propiedad 3:
-<center><math>(6^4 \cdot 5^4):15^4 = (6 \cdot 5)^4 : 15^4 = 30^4 : 15^4</math></center>
+<center><math>(6^4 \cdot 5^4):15^4 = (6 \cdot 5)^4 : 15^4 = 30^4 : 15^4=</math></center>
 :{{b4}}y aplicando la propiedad 4:
-<center><math>30^4 : 15^4 = (30 : 15)^4 = 2^4 =16\;</math></center>
+<center><math>= (30 : 15)^4 = 2^4 =16\;</math></center>
 {{p}}
 :d) Aplicando las propiedades 5 y 1:
-<center><math>(8^3)^2 :(8^3 \cdot 8^2) = 8^{3 \cdot 2} : 8^{3+2} = 8^6 : 8^5</math></center>
+<center><math>(8^3)^2 :(8^3 \cdot 8^2) = 8^{3 \cdot 2} : 8^{3+2} = 8^6 : 8^5=</math></center>
 :{{b4}} y aplicando la propiedad 2:
-<center><math>8^6 : 8^5 = 8^{6-5} = 8^1 = 8\;</math></center>
+<center><math> = 8^{6-5} = 8^1 = 8\;</math></center>
 :e) Por las propiedades 1 y 2:
-<center><math>(a^2 \cdot a)^4 :(a^6:a^3)^3= (a^{2+1})^4 : (a^{6-3})^3 =(a^3)^4 : (a^3)^3</math></center>
+<center><math>(a^2 \cdot a)^4 :(a^6:a^3)^3= (a^{2+1})^4 : (a^{6-3})^3 =(a^3)^4 : (a^3)^3=</math></center>
 :{{b4}} y por las propiedades 5 y 2:
-<center><math>(a^3)^4 : (a^3)^3 = a^1 : a^9 = a^{12-9} = a^3\;</math></center>
+<center><math>= a^{12} : a^9 = a^{12-9} = a^3\;</math></center>
 }}
 {{p}}

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