Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)
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Revisión de 16:25 5 oct 2016
Tabla de contenidos[esconder] |
Multiplicación de números complejos en forma polar
Producto de complejos en forma polar
El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.
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Demostración:[Mostrar]
![=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta + i \, cos \alpha \, sen \beta + i \, sen \, \alpha \, cos \, \beta + i^2 \, sen \, \alpha \, sen \, \beta ]=](/wikipedia/images/math/5/9/1/591804e8ee81496a02138c096a8d2d59.png)
![=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta - sen \, \alpha \, sen \, \beta+ i \, ( cos \alpha \, sen \beta + sen \, \alpha \, cos \, \beta )]=](/wikipedia/images/math/2/f/c/2fcccb290acf0ed109301fe82ce33846.png)
![=r \cdot s \, [cos (\alpha + \beta ) + i \, sen \, ( \alpha + \beta )]=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}](/wikipedia/images/math/7/6/d/76d54879d578a64886a5aeeafb79b32e.png)
Potencias de números complejos en forma polar
Potencia de un complejo en forma polar
- La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:
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Demostración:[Mostrar]
Fórmula de Moivre
División de números complejos en forma polar
División de complejos en forma polar
La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.
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Radicación de números complejos en forma polar
Un número complejo 
es una raíz n-ésima de otro complejo 
si se cumple que 
.
Raíces de un complejo
- Un número complejo
tiene exactamente n raíces n-ésimas 
, que se obtienen de la siguiente manera:
![r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[n]{R} \\ \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}](/wikipedia/images/math/4/a/5/4a5dd4f3f68e14f0c8013ccc27085e5e.png)
Demostración:[Mostrar]
![\sqrt[n]{z}=w \iff z=w^n \iff (R_A)=(r_\alpha)^n \iff R_A=(r^n)_{n \, \alpha}](/wikipedia/images/math/b/7/7/b7781ba8724c717e4f2b2423267ad5bf.png)
![R_A=(r^n)_{n \, \alpha} \iff \begin{cases} r^n=R \iff r=\sqrt[n]{R} \\ n \, \alpha = A + 2k \pi \iff \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}](/wikipedia/images/math/c/8/0/c808af8500c52fdd7279ea16c43c86cc.png)
![\sqrt[3]{1+i}](/wikipedia/images/math/8/8/3/883e0a5f87d5879d879d48e3bbe5789d.png)
a forma polar:
![\sqrt[3]{(\sqrt{2})_{45^\circ}}=r_\alpha](/wikipedia/images/math/c/5/e/c5e849c7713f59a373e993c0d21a8bd5.png)
, siendo ![\begin{cases} r=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \\ \alpha=\cfrac{45^\circ +2k \pi}{3}\, , \quad k=0,1,2 \end{cases}](/wikipedia/images/math/e/3/3/e338be4b3b0010eb3dd1abb6ea6669f0.png)
![r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[6]{2} \\ \alpha= 15^\circ \, , \quad 135^\circ \, , \quad 257^\circ \end{cases}](/wikipedia/images/math/d/9/7/d978739b21c71e554a372161eb06a8b7.png)
![(\sqrt[6]{2})_{15^\circ} \, , \quad (\sqrt[6]{2})_{135^\circ} \, , \quad (\sqrt[6]{2})_{257^\circ}](/wikipedia/images/math/a/d/b/adb33551ba73519cab6c3b98e938918b.png)
