Puntos y vectores el plano (1ºBach)

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Tabla de contenidos

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1 Sistema de referencia en el plano
2 Coordenadas del vector que une dos puntos
3 Vectores equipolentes
4 Condición para que tres puntos estén alineados
5 Punto medio de un segmento
6 Simétrico de un punto respecto de otro
7 Traslaciones y homotecias
8 Operaciones con vectores

Sistema de referencia en el plano

Un sistema de referencia del plano consiste en una terna $\mathfrak{R}=\big\{O,(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})\big\}$ , donde $O\,$ es un punto fijo, llamado origen, y $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ una base de vectores del plano.

En este sistema de referencia, cada punto $P\,$ del plano tiene asociado un vector fijo $\overrightarrow{OP}$ , llamado vector de posición del punto $P\,$ .

Si el vector $\overrightarrow{OP}$ tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto de la base $B(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ , el punto $P\,$ diremos que tiene coordenadas $(a,b)\,$ respecto del sistema de referencia $\mathfrak{R}$ .

Normalmente trabajaremos con un sistema de referencia ortonormal, que es aquel en el que la base es ortonormal.

Sistema de referencia ortonormal

Vector de posición y coordenadas de un punto del plano Descripción: [Mostrar]

Coordenadas del vector que une dos puntos

Coordenadas del vector que une dos puntos

Dados dos puntos del plano de coordenadas $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ , respecto de un sistema de referencia $\mathfrak{R}$ , entonces:

$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$

Demostración:[Mostrar]

Vector fijo asociado a un par ordenado de puntos del plano (15´47") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicio (19´59") Sinopsis:[Mostrar]

4 ejercicios (9´33") Sinopsis:[Mostrar]

Autoevaluación: Coordenadas del vector que une dos puntos Descripción: [Mostrar]

Vectores equipolentes

Proposición

Dos vectores son equipolentes si y sólo si tienen las mismas coordenadas.

Equipolencia de vectores fijos. Vector libre (14´37") Sinopsis:[Mostrar]

2 ejercicios (10´42") Sinopsis:[Mostrar]

Coordenadas de vectores equipolentes Descripción: [Mostrar]

Condición para que tres puntos estén alineados

Condición para que tres puntos estén alineados

Los puntos del plano $A(x_1,y_1)\,$ , $B(x_2,y_2)\,$ y $C(x_3,y_3)\,$ , están alineados si se cumple:

$\cfrac{x_2-x_1}{x_3-x_2}=\cfrac{y_2-y_1}{y_3-y_2}$

Demostración:[Mostrar]

Condición para que tres puntos estén alineados (20´52") Sinopsis:[Mostrar]

Punto medio de un segmento

Punto medio de un segmento

Las coordenadas del punto medio, $M\,$ , de un segmento de extremos $A(x_1,y_1)\,$ y $B(x_2,y_2)\,$ son:

$M=\Big( \cfrac{x_1+x_2}{2}, \cfrac{y_1+y_2}{2} \Big)$

Demostración:[Mostrar]

Punto medio de un segmento. (10´06") Sinopsis:[Mostrar]

Ejercicio (Trisección de un segmento) (7´59") Sinopsis:[Mostrar]

Simétrico de un punto respecto de otro

Para calcular el punto simétrico de un punto respecto de otro, utilizaremos la anterior fórmula del punto medio, tomando como datos los puntos A y M y como incógnita el punto B. Luego despejaremos de las ecuaciones resultantes las coordenadas del punto B.

También podemos hacer uso de la siguiente fórmula:

Simétrico de un punto respecto de otro

El punto simétrico de $A(x,y)\,$ respecto del punto $P(a,b)\,$ es:

$A'=(2a-x,2b-y)\,$ .

Demostración:[Mostrar]

Traslaciones y homotecias

Traslaciones (4´44") Sinopsis:[Mostrar]

2 ejercicios (10´26") Sinopsis:[Mostrar]

Suma de vectores como composición de traslaciones (24´12") Sinopsis:[Mostrar]

Homotecias (6´23") Sinopsis:[Mostrar]

Operaciones con vectores

6 ejercicios (17´13") Sinopsis:[Mostrar]

6 ejercicios (11'11") Sinopsis:[Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Puntos_y_vectores_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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-|sinopsis=Siendo <math>\vec{u}</math> un vector libre, llamamos traslación de vector <math>\vec{u}</math> a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las que las coordenadas del vector fijo <math>\vec{AA'}</math> coinciden con las de <math>\vec{u}</math>. Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector <math>\vec{u}</math>.
+|sinopsis=Siendo <math>\vec{u}</math> un vector libre, llamamos '''traslación''' de vector <math>\vec{u}</math> a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que las que las coordenadas del vector fijo <math>\vec{AA'}</math> coinciden con las de <math>\vec{u}</math>. Del punto A' se dice "trasladado" de A según la traslación de vector <math>\vec{u}</math>.
 Obvio: si <math>u = (u_1,u_2)</math> y <math>A = (a_1,a_2)</math>, es A' = (a_1+u_1,u_2+u_2).
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-|sinopsis=Homotecia de razón ''k''
+|sinopsis=
+*Llamamos '''homotecia''' de centro en el punto "P" y razón "k" a la transformación que a cada punto A del plano le asocia el punto A' tal que el vector fijo <math>\vec{PA'}</math> es el producto del número real "k" por el vector fijo <math>\vec{PA'}</math>.
+El punto A' se dice homotético del punto A. Los puntos P, A y A' están alineados.
+*La homotecia se dice '''directa''' si k>0, y se dice '''inversa''' si k<0.
 }}

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