La elipse (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 La elipse
2 Elementos de la elipse
3 Excentricidad de la elipse
4 Ecuaciones de la elipse
5 Construcciones de la elipse

La elipse

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la elipse ( $k > d(F,F')\,$ ), se llama elipse al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya suma de distancias a los focos es igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; d(P,F)+d(P,F')=k \big \}$

Elementos de la elipse

Una elipse de focos $F\,$ y $F'\,$ , con ejes de simetría $AA'\,$ y $BB'\,$ , que se cortan en el centro $O\,$ de la elipse, determina los siguientes segmentos:

Semieje mayor: $a=\overline{OA}=\overline{OA'}$ .
Semieje menor: $b=\overline{OB}=\overline{OB'}$ .
Semidistancia focal: $c=\overline{OF}=\overline{OF'}$ .

Propiedades

$k=2a\,$ (constante de la elipse)
$a=\overline{BF}=\overline{BF'}$
$a^2=b^2+c^2\,$
$c<a\,$

Demostración:

La constante de la elipse es $k=2a\,$ , ya que, al ser $A\,$ un punto de la elipse:

$k=\overline{AF}+\overline{AF'}=\overline{AF}+\overline{A'F}=2a$

Por ser $B\,$ un punto de la elipse:

$\overline{BF}+\overline{BF'}=2a \rightarrow \overline{BF}=\overline{BF'}=a$

Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo $BOF\,$ , tenemos

$a^2=b^2+c^2\,$

Por ser $a\,$ la hipotenusa y $c\,$ un cateto, tenemos que $c<a\,$ .

Propiedad de la elipse Descripción:

En la siguiente escena vamos a ver una propiedad de la elipse en la que veremos como cualquier "rayo de luz" que parta de uno de sus su focos (considerando que la elipse se comporta como un espejo) se refleja en la elipse y va a parar al otro foco.

Excentricidad de la elipse

La excentricidad de la elipse es el cociente entre la distancia focal y el eje mayor:

$e=\cfrac{c}{a}$

Propiedades

En una elipse $0<e<1\,$ .
Una elipse más se parece a a una circunferencia, cuanto más se aproxime a 0 su excentricidad.

Demostración:

Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que $a>c \rightarrow \cfrac{c}{a}<1$

y como $a>0\,$ y $c>0\,$ , tenemos que $\cfrac{c}{a}>0$

Cuanto más próxima a 0 sea la excentricidad, más proximo a cero estará $c\,$ (la distancia focal se aproximará a cero) y $a\,$ se aproximará a $b\,$ . Así, la elipse, se aproximará a una circunferencia de centro los focos y radio $a=b\,$ .

Excentricidad de la elipse Descripción:

En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la elipse si modificamos su excentricidad.

Ecuaciones de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

La ecuación de una elipse con semieje mayor $a\,$ y semieje menor $b\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$

Demostración:

Sean $F(c,0)\,$ y $F'(-c,0)\,$ los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:

$d(P,F)+d(P,F')=2a\,$

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática:

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a$

Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$

Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:

$x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2-4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

$-4cx-4a^2=-4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

$cx+a^2=a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}$

Se elevan al cuadrado los dos miembros:

$c^2x^2+a^4+2ca^2x=a^2(x^2+c^2+2cx+y^2)\,$

Reordenando y agrupando términos:

$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2b^2\,$

Teniendo en cuenta que $a^2-c^2=b^2\,$ :

$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\,$

Dividiendo la expresión por $a^2b^2\,$ :

se obtiene la cuación buscada:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$

Ejemplo (7'36") Sinopsis:

Ecuación reducida de la elipse.

Ecuación reducida de la elipse Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la elipse de semiejes 5 y 9.

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

La ecuación de una elipse con semieje mayor $a\,$ y semieje menor $b\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

$\cfrac{x^2}{b^2}+\cfrac{y^2}{a^2}=1$

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen

La ecuación de una elipse con semiejes $a\,$ y $b\,$ y centro $O(\alpha,\beta)\,$ es:

Si el eje FF' es paralelo al eje X:

$\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1$

Si el eje FF' es perpendicular al eje X:

$\cfrac{(x-\alpha)^2}{b^2}+\cfrac{(y-\beta)^2}{a^2}=1$

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la elipse de centro O(3,-1) y semiejes 5 y 2.

Construcciones de la elipse

Método del jardinero Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una elipse por el método del jardinero. Los jardineros, para trazar una forma elíptica sobre la tierra, clavan dos estacas en el suelo, atan entre ambas una cuerda suficientemente amplia y, manteniéndola tensa, trazan una línea sobre la tierra apoyando un palo sobre la cuerda y deslizándolo sobre la misma.

La elipse como envolvente (1) Descripción:

La elipse como envolvente.

La elipse como envolvente (2) Descripción:

La elipse como envolvente.

La elipse a partir de dos circunferencias Descripción:

La elipse a partir de dos circunferencias.

La elipse como hipotrocoide Descripción:

La elipse como hipotrocoide.

La elipse mediante el compás de Arquímedes Descripción:

La elipse mediante el compás de Arquímedes.

La elipse a partir de dos circunferencias tangentes interiores Descripción:

La elipse a partir de dos circunferencias tangentes interiores.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_elipse_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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Tabla de contenidos

La elipse

Elementos de la elipse

Excentricidad de la elipse

Ecuaciones de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

Ecuación de la elipse con el centro desplazado del origen de coordenadas

Construcciones de la elipse

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