La hipérbola (1ºBach)

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La hipérbola

Dados dos puntos F\, y F'\, llamados focos, y una distancia k\,, llamada constante de la hipérbola (k < d(F,F')\,), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos P\, del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a k\,:

\big \{P(x,y) \, / \; |d(P,F)-d(P,F')|=k \big \}

Elementos de la hipérbola

Una una hipérbola de focos F\, y F'\,, con asíntotas r\, y r'\,, con ejes de simetría AA'\, y su perpendicular pasando por su centro O\,, determina los siguientes segmentos:

  • Semieje: a=\overline{OA}=\overline{OA'}.
  • Semidistancia focal: c=\overline{OF}=\overline{OF'} .

ejercicio

Propiedades

  • k=2a\, (constante de la hipérbola)
  • c^2=a^2+b^2 \quad (c>a)
  • Las pendientes de las asíntotas son:
\cfrac{b}{a}    y \; -\cfrac{b}{a}
Demostración:
  • La constante de la hipérbola es k=2a\,, ya que, al ser A\, un punto de la hipérbola:

k=\overline{AF'}+\overline{AF}=\overline{AF'}-\overline{A'F'}=\overline{AA'}=2a


  • Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo de lados a\,, b\, y c\,, tenemos

c^2=a^2+b^2\,

Por ser c\, la hipotenusa y a\, un cateto, tenemos que c>a\,.

  • La pendiente se calcula como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje X. Para la asíntota creciente, la pendiente es:
tg \, \alpha=\cfrac{b}{a}
y para la decreciente, es igual pero con signo opuesto.

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje:

e=\cfrac{c}{a}

ejercicio

Propiedades

En una hipérbola e>1\,.

Demostración:
Como la hipotenusa del triángulo rectángulo es mayor que los catetos, tenemos que c>a \rightarrow \cfrac{c}{a}>1

Excentricidad de la hipérbola     Descripción:

En la siguiente escena vamos a ver como se ve afectada la hipérbola si modificamos su excentricidad.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuación reducida de la hipérbola

ejercicio

Ecuación reducida de la hipérbola

La ecuación de una hipérbola con semieje a\,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1

Demostración:

Sean F(c,0)\, y F'(-c,0)\, los focos de la elipse. Cualquier punto P(x,y) de la misma cumple:

|d(P,F)-d(P,F')|=2a\,

Sustituyendo las distancias por su fórmula matemática, y contemplando la posibilidad del doble signo que surge de suprimir el valor absoluto:

\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a

Pasamos la segunda raíz al segundo miembro:

\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}

Se elevan al cuadrado ambos miebros y se simplifica:

x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2+x^2+2cx+c^2+y^2 \pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}

-4cx-4a^2=\pm 4a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}

cx+a^2=\pm a \, \sqrt{(x+c)^2+y^2}

Se elevan al cuadrado los dos miembros:

c^2x^2+a^4+2ca^2x=a^2(x^2+c^2+2cx+y^2)\,

Reordenando y agrupando términos:

(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)\,

Teniendo en cuenta que c^2-a^2=b^2\,:

b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\,

Dividiendo la expresión por a^2b^2\,:

se obtiene la cuación buscada:

\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1

Ecuación reducida de la hipérbola     Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación reducida de la hipérbola con semieje 4 y semidistancia focal 5.

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

ejercicio

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

La ecuación de una hipérbola con semieje a\,, con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

\cfrac{y^2}{a^2}-\cfrac{x^2}{b^2}=1

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas

ejercicio

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen

La ecuación de una elipse con semieje a\, y centro O(\alpha,\beta)\, es:
  • Si el eje FF' es paralelo al eje X:

\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1

  • Si el eje FF' es perpendicular al eje X:

\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}-\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1


Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas     Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola de centro O(-3,1), semieje a=3 y semidistancia focal c=5.

Ecuación de la hipérbola con el eje vertical     Descripción:

En la siguiente escena vamos a calcular la ecuación de la hipérbola con eje focal vertical de centro O(3,-1), a=2 y b=3.

Construcciones de la hipérbola

Trazado de la hipérbola a partir de la definición     Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una hipérbola usando la definición de hipérbola como lugar geométrico.

La hipérbola como envolvente     Descripción:

En esta escena podrás ver como construye una hipérbola como envolvente.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_hip%C3%A9rbola_%281%C2%BABach%29"
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