Plantilla:Perímetros y áreas

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Revisión de 11:05 16 nov 2016

Tabla de contenidos

1 Cuadrado
2 Rectángulo
3 Paralelogramo
4 Rombo
5 Triángulo
6 Trapecio
7 Polígonos regulares
8 Círculo
- 8.1 Corona circular
- 8.2 Sector circular

Cuadrado

Perímetro:

$P=4 \cdot a$

Área:

$A=a^2 \;\!$

Elementos:

$a\;$ : lado.

Área y perímetro del cuadrado Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del cuadrado; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del cuadrado.

El cuadrado

Actividad: El cuadrado

a) Halla el área de un cuadrado de 5 cm de lado.

b) Halla el perímetro de un cuadrado de 3 m de lado.

c) Halla la diagonal de un cuadrado de 20 mm de lado.

d) Halla el ángulo central de un cuadrado.

e) Halla el ángulo interior de un cuadrado.

f) Halla la suma de los ángulos interiores de un cuadrado.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) square edge length 5 cm area

b) square edge length 3 m perimeter

c) square edge length 20 mm diagonal length

d) square central angle

e) square interior angle

f) square interior angle sum

Rectángulo

Perímetro:

$P=2 \cdot a+2 \cdot b$

Área:

$A=a \cdot b$

Elementos:

$b\;$ : base.

$a\;$ : altura.

Área y perímetro del rectángulo Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rectángulo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rectángulo.

El rectángulo

Actividad: El rectángulo

a) Halla el área de un rectángulo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en

m 2

b) Halla el perímetro de un rectángulo de 30 m y 5 dam de lados, expresada en

d a m 2

c) Halla la diagonal de un rectángulo de 30 mm y 5 dm de lados, expresada en cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) rectangle edge length 5 cm, 20 dm area in meters

b) rectangle edge lengths 30 m, 5 dam perimeter in dekameters

c) rectangle edge lengths 30 mm, 5 dm diagonal length in centimeters

Paralelogramo

Perímetro:

$P=2 \cdot c+2 \cdot b$

Área:

$A=a \cdot b$

Elementos:

$b\;$ : base.

$a\;$ : altura.

$c\;$ : lado

Nota:

El perímetro y el área son iguales que en el rectángulo.

Área del paralelogramo Descripción:

En esta escena podrás deducir la fórmula del área del paralelogramo y practicar con ella.

El paralelogramo

Actividad: El paralelogramo

a) Halla el perímetro de un paralelogramo de lados 5 cm y 20 dm., expresada en dm.

b) Halla el área de un paralelogramo de 50 cm de base y 2 dm de altura.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) parallelogram edge length 5 cm, 20 dm perimeter in decimeters

a) parallelogram width 5 cm heigth 2 dm area

Rombo

Perímetro:

$P=4 \cdot a$

Área:

$A=\cfrac {D \cdot d}{2}$

Elementos:

$a\;$ : lado.

$D\;$ : diagonal mayor.

$d\;$ : diagonal menor.

Nota:

Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados iguales.

Área y perímetro del rombo Descripción:

En esta escena consta de dos partes: en la primera podrás deducir la fórmula del área del rombo; en la segunda podrás calcular el área y el perímetro del rombo.

El rombo

Actividad: El rombo

a) Halla el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en

d m 2

b) Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 12 m y 20 m. Expresa la solución en cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) rhombus diagonal length 12 m, 20 m area in decimeters

b) rhombus diagonal length 12 m, 20 m perimeter in centimeters

Triángulo

Perímetro:

$P=b+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {b \cdot a}{2}$

Elementos:

b: base.

a: altura.

c, d: lados.

Nota:

Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.

Fórmula de Herón

La superficie de un triángulo de lados a, b, c viene dada por:

$S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\,$

donde $p\;$ es el semiperímetro: $p=\frac{a+b+c}{2}$ .

Demostración:

Nota: El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente.

Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C.

Por el teorema del coseno, tenemos que:

$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:

$\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}$ .

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud bsin(C), por tanto siguiendo con la demostración

$S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})$

$\qquad = \frac{1}{2} ab\sin(C)$

$\qquad = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}$

$\qquad = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.$

Actividad: Triángulo

a) Halla el área de un triángulo de 3 cm de base y 5 cm de altura. Expresa el resultado en

d m 2

b) Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 4 m, 6 m y 7 m usando la fórmula de Herón.

c) Halla los lados de un triángulo rectángulo isósceles de área 1

m 2

d) Halla el área de un triángulo equilátero de lado 5 cm.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) triangle width 3 cm height 5 cm area in decimeters

b) triangle edge lengths 4 m, 6 m, 7 m area

c) isosceles right triangle area 1 m^2 edge lengths

c) equilateral triangle edge length 5cm area

Trapecio

Perímetro:

$P=b+B+c+d\;\!$

Área:

$A=\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}$

Elementos:

B: base mayor.

b: base menor.

a: altura.

c, d: lados.

Actividad interactiva: Trapecio

1. Deducción de la fórmula del área de un trapecio.

Actividad:

Para ello, mueve el punto rojo hacia la izquierda. Obtendrás un duplicado del trapecio en color azul, que junto con el trapecio amarillo inicial, forman un paralelogramo de base $B+b\;\!$ y altura $a\;\!$ .

El área del paralelogramo es:

$(B+b) \cdot a$

de donde, dividiendo por 2, obtenemos el área del trapecio:

$\cfrac {(B+b) \cdot a}{2}$

Deducción de la fórmula del área del trapecio

(Mueve el punto rojo)

2. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y del perímetro de un trapecio

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

3. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y del perímetro de un trapecio rectángulo

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

4. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Cálculo del área y el perímetro de un trapecio isósceles

(Mueve los vértices del trapecio para variar la medida de los lados)

Actividad: Trapecio

a) Halla el área de un trapecio de bases 5cm y 7 cm y altura 4 cm.

b) Halla la altura de un trapecio de bases 5cm y 7cm y área 24

c m 2

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) trapezoid base lengths 5cm, 7cm height 4cm area

b) trapezoid base lengths 5cm, 7cm area 24cm^2 height

Polígonos regulares

Perímetro:

$P=n \cdot b$

Área:

$A=\cfrac {P \cdot a}{2}$

Elementos:

b: lado.

a: apotema.

Nota:

n: número de lados.

Actividad interactiva: Polígono regulares

Actividad 1: Deducción del área de un polígono regular.

Actividad:

Desliza el punto verde y observa

¿A qué otro área es igual la del pentágono regular?
¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un pentágono regular en función de sus dimensiones? ¿Por qué?
¿Y la de un polígono regular de n lados?

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2:

Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y su área.
Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono regular)

Actividad:

Contesta en tu cuaderno y comprueba los resultados en la escena siguiente:

Calculo del área y del perímetro de un polígono regular.

(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)

Click aquí si no se ve bien la escena

Pero, para determinar el área, necesitamos conocer, además del lado, la apotema. Si conocemos uno de ellos y el radio, podemos hallar el otro por el Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente escena:

Calculo de la apotema, lado o radio de un polígono regular.

(Mueve los puntos azules para variar el número de lados y la medida de los mismos)

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: Cálculo del área y del perímetro de un polígono regular.

Actividad:

En esta escena puedes comprobar el área, perímetro, apotema y lado de un polígono regular haciendo variar al radio.

Desliza el punto verde para modificar el número de lados.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad: Polígonos regulares

a) Halla el área de un hexágono regular de 5 cm de lado.

b) Halla el perímetro de un hexágono regular de 3 m de radio.

c) Halla el ángulo central de un pentágono regular.

d) Halla el ángulo interior de un octógono regular.

e) Halla la suma de los ángulos interiores de un eneágono regular en grados sexagesimales.

f) Halla el área (en

d m 2

) de un hexágono regular de 4 cm de apotema.

g) Halla el área del círculo inscrito en un hexágono regular de 3 m de radio.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) regular hexagon edge length 5cm area

b) regular hexagon radius 3m perimeter

c) regular pentagon central angle

d) regular octagon interior angle

e) regular 9-gon interior angle sum in deg

f) regular 6-gon apothem 4cm area in dm^2

g) regular 6-gon radius 3 m incircle

Círculo

Perímetro:

$P=2 \cdot \pi \cdot r$

Área:

$A=\pi \cdot r^2$

Elementos:

r: radio.

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud de la circunferencia.

Actividad interactiva: Círculo

Actividad 1: Comprobación de la fórmula de la longitud de la circunferencia.

Actividad:

Desliza el punto verde y observa

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 2: Aproximación a la fórmula del área del círculo.

Actividad:

Desliza el punto verde y observa

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad 3: En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.

Actividad:

Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:

Calculo del área y del perímetro de un círculo.

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad: Círculo

a) Halla el área de un círculo de 3 m de radio.

b) Halla la longitud de la circunferencia de 3 m de radio.

c) Halla el área de un círculo cuyo perímetro mide 18

π

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) circle radius 3m area

b) circle radius 3m perimeter

c) circle perimeter 18*pi m area

Corona circular

Perímetro:

$P=2 \cdot \pi \cdot (R+r)$

Área:

$A=\pi \cdot (R^2-r^2)$

Elementos:

r, R: radios respectivos.

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la suma de las longitudes de las circunferencias.

Actividad interactiva: Corona circular

1. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.

Actividad:

Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:

Calculo del área de una corona circular

(Mueve el punto azul para modificar el radio pequeño)

Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad: Corona circular

a) Halla el área de una corona circular de radios 3 m y 5 m.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) annulus, inner radius 3m, outer radius 5m, area

Sector circular

Perímetro:

$l=\cfrac{2 \pi r \cdot \alpha}{360^o}; \ P = l+2 \cdot r$

Área:

$A=\cfrac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^o}$

Elementos:

r: radio.

l: arco.

$\alpha\;\!$ : ángulo (en grados sexagesimales).

Nota:

$\pi\;\!$ : número Pi = 3,14159...

El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.

Demostración:

La fórmula del área del sector circular se obtiene a partir de la del área del círculo, aplicando una regla de tres.

$\begin{matrix}A_{Sect} & \to & \alpha \\ A_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}$

Despejando el área del sector:

$A_{Sect}=\cfrac{A_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}$

de donde, sustituyendo el área del círculo por su valor, $\pi r^2\;\!$ , se obtiene la fórmula.

Lo mismo ocurre con la de la longitud del arco, que se obtiene a partir de la de la longitud de la circunferencia, también mediante una regla de tres.

$\begin{matrix}L_{Sect} & \to & \alpha \\ L_{Circ} & \to & 360^o \end{matrix}$

Despejando la longitud del sector:

$L_{Sect}=\cfrac{L_{Circ} \cdot \alpha}{360^o}$

de donde, sustituyendo la longitud de la circunferencia por su valor, $2 \pi r\;\!$ , se obtiene la fórmula.

Actividad interactiva: Sector circular

1. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.

Actividad:

Haz los cálculos en tu cuaderno y compruébalos en la siguiente escena:

Calculo del área de un sector circular

(Mueve el punto B para modificar el ángulo)Click aquí si no se ve bien la escena

Actividad: Sector circular

a) Halla el área de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.

b) Halla el perímetro de un sector circular de radios 3 m y ángulo central 45º.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) circular sector, radius 3m, angle 45º, area

b) circular sector, radius 3m, angle 45º, perimeter

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Per%C3%ADmetros_y_%C3%A1reas"

 :Un triángulo es la mitad de un paralelogramo.
 }} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Triángulo''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 1:''' Deducción del área del triángulo.
-{{p}}
-|actividad= Desliza el punto verde o utiliza los botones, observa lo que ocurre y razona:
-*¿A qué otra área es igual la del triángulo?
-Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar los puntos verdes.
-*¿Qué fórmula permitirá calcular el área de un triángulo en función de sus dimensiones? ¿Por qué?
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-En esta otra escena, mueve el deslizador (punto verde) y razona:
-*¿A la mitad de qué otro área es igual la del triángulo?
-Vuelve a la posición inicial y modifica el triángulo arrastrando cualquiera de sus vértices. Vuelve a deslizar el punto verde.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo2.html
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-height=460
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-</iframe></center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geogebra/figuras/area_triangulo2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' La base  de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro.
-|actividad=
-Hazlo en tu cuaderno y comprueba los resultados en la siguiente escena:
-<center><iframe>
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-height=330
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-<center>'''El cuadrado es un rombo con los 4 lados iguales'''</center>
-<center>(Mueve los vértices del triángulo para variar la medida de los lados)</center>
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/area5_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}}
-}}
 {{p}}
 {{teorema
 donde <math>p\;</math> es el semiperímetro: <math>p=\frac{a+b+c}{2}</math>.
-|demo='''Nota:''' Esta demostración excede el nivel de este curso.
+|demo='''Nota:''' El nivel de esta demostración corresponde a 1º de Bachillerato.
 Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio [[Herón]] en su libro), podría ser la siguiente.
-Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''. Entonces tenemos que:
+Supongamos un triángulo de lados ''a'', ''b'', ''c'' cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son ''A'', ''B'', ''C''.
+Por el teorema del coseno, tenemos que:
 :<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
-por el Teorema del coseno:
+Por la relación fundamental de la trigonometría, tenemos que:
 :<math>\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}</math>.
 La altura de un triángulo de base ''a'' tiene una longitud ''b''sin(C), por tanto siguiendo con la demostración
 :<math>S = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altura})</math>

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