Plantilla:Cálculo del límite de una función (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 11:23 17 dic 2016

Tabla de contenidos

1 Cálculo del límite de una función en un punto
2 Límite en un punto en el que la función es continua
- 2.1 Ejercicios propuestos
3 Límite de funciones a trozos
4 Límite de una función en un punto en el que se anula el denominador
5 Límite de cociente de funciones polinómicas
6 Paso al límite

Cálculo del límite de una función en un punto

El cálculo del límite de una función en un punto puede ser muy fácil o muy difícil. Vamos a ver como hay que proceder en cada caso. En los siguientes videos puedes ver algunas nociones previas de interés.

Cálculo del límite de una función en un punto (7'23") Sinopsis:

Problema típico: te dan la función "f" y te piden que, si existe, calcules su límite en el punto "c".

Límites inofensivos: si para calcular f(c) no se viola ninguna Regla Sagrada, la función "f" tiene límite en "c" y coincide con f(c); o sea, existen los dos límites laterales de "f" en "c" y coinciden con f(c).
Límites peligrosos: si para calcular f(c) se viola ninguna Regla Sagrada, el cálculo del límite de "f" en "c" puede ser muy complicado, y no hay ninguna receta mágica que resuelva el problema en todos los casos.

No debes olvidar que para calcular el límite en un punto nos importa un pito si la función está o no definida en dicho punto, sólo nos interesa que la función está definida en las proximidades del punto.

Paso al límite (6'37") Sinopsis:

La operación lógica que llamamos paso al límite (PL) se reduce a conjugar la tercera persona del singular del presente de indicativo del verbo tender.

Recuerda: al escribir x → c (se lee "x" tiende a "c") queremos decir que "x" (o sea, tú) se aproxima a "c" indistintamente por la izquierda o por la derecha.

Operaciones con límites (2'33") Sinopsis:

Este vídeo es muy importante: en él hablamos de operaciones con límites, y las efectuaremos constantemente a partir de ahora.

Límite en un punto en el que la función es continua

El caso más sencillo de cálculo del límite de una función en un punto es aquel en el que la función es continua en dicho punto. En efecto:

Proposición

Si $f(x)\;$ es continua en el punto $x=c\;$ , entonces

$\lim_{x \to c} f(x)=f(c)$

Demostración:

Es inmediato, por la propia definición de función continua en un punto.

Ejemplo: Cálculo del límite en un punto en el que la función es continua

Calcula:

$\lim_{x \to 3} \cfrac{x-2}{x-5}$

Solución:

$D_f= \mathbb{R}-\{5\}$ y sabemos que la función es continua en su dominio por ser una función elemental (cociente de funciones polinómicas).

Como $3 \in D_f$ , entonces $f\;$ es continua en 3 y, por tanto:

$\lim_{x \to 3} f(x)=f(3)=\cfrac{3-2}{3-5}=-\cfrac{1}{2}$

Ejemplos: Cálculo del límite en un punto en el que la función es continua

1. Ejemplos (8'03") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 7} \, 4x+2$

2. Ejemplos (5'15") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 3} \, 6^{\frac{x+2}{x-2}}$

3. Ejemplos (8'05") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 1} \, \sqrt{5-x}$

4. Ejemplos (3'55") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to -5} \, ln \, (1-x)$

5. Ejemplos (11'19") Sinopsis:

Cálculo de $\lim_{x \to 4} \, sen \, \cfrac{1}{x}$
Cálculo de $\lim_{x \to 0} \, |1-x^2|$
Cálculo de $\lim_{x \to 2} \, \cfrac{x^2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot ln \, (1+x^3)}{1+tg^2(x-2)}$

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Límite en un punto en el que la función es continua

(Pág. 278)

Límite de funciones a trozos

Ejemplos: Estudio de la continuidad de una función definida a trozos

1. Ejemplos (9'41") Sinopsis:

2 ejemplos del estudio de la continuidad de una función definida a trozos con parámetros.

2. Ejercicio de una una prueba de acceso a la Universidad (7'49") Sinopsis:

Estudio de la continuidad de una función definida a trozos con parámetros.

Solución:

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