Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)

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Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a <math> + \infty</math> (o a <math> - \infty</math>) son los siguientes: Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a <math> + \infty</math> (o a <math> - \infty</math>) son los siguientes:
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Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en <math>+ \infty</math> y <math>- \infty</math>, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos. Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en <math>+ \infty</math> y <math>- \infty</math>, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.
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-==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a infinito==+==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==
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-==Límite de funciones racionales cuando x tiende a infinito==+==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito==
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Tabla de contenidos

Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a + \infty (o a - \infty) son los siguientes:

  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R} si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan proximos a L\; como se quiera. En este caso se dice que la recta y=L\; es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.

En estas tres definiciones se puede cambiar x \to +\infty por x \to -\infty para obtener otras tres definiciones análogas.

ejercicio

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en + \infty y - \infty, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) f(x)= \cfrac{1}{x}        b) f(x)= x^3\;        c) f(x)= 2^x\;        d) f(x)= log \, x        e) f(x)= sen \, x
Solución:
a) \lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x}=0    (La recta y=0 es una A.H. por + \infty)
    \lim_{x \to -\infty} \cfrac{1}{x}=0    (La recta y=0 es una A.H. por - \infty)

 

b) \lim_{x \to + \infty} x^3= + \infty
    \lim_{x \to - \infty} x^3= - \infty

 

c) \lim_{x \to + \infty} 2^x= + \infty
    \lim_{x \to - \infty} 2^x= 0    (La recta y=0 es una A.H. por - \infty)

 

d) \lim_{x \to + \infty} log \, x=+ \infty
    \lim_{x \to - \infty} log \, x= \mbox{no tiene sentido plantearlo}

 

e) \lim_{x \to + \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante}
    \lim_{x \to - \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante}

Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:

Representador de funciones     Descripción:

En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

(Pág. 282)

1

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición

Sea P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\; una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} P(x)= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}
  • \lim_{x \to - \infty} P(x)= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\ +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar} \end{cases}

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

ejercicio
Ejemplos:
  • \lim_{x \to + \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty
  • \lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = - \infty
  • \lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = + \infty
  • \lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty
  • \lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = - \infty
  • \lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = - \infty

Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición

Sea P(x)\; una función polinómica en la variable x. Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0
  • \lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0

ejercicio
Ejemplos:
  • \lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{5x^4-2x^2} = 0
  • \lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{-3x^2} = 0

Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito

Límite de una función en el infinito (17'30")     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Límite de un polinomio en el infinito (9'59")     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

Límite de una función racional en el infinito (11'23")     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

ejercicio

Ejemplos: Límite de una función racional en el infinito

1. Ejemplos (10'18")     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

2. Ejemplos (12'19")     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

3. Ejemplos (9'20")     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

4. Ejemplos (11'14")     Sinopsis:

Video tutorial de matematicasbachiller.com

5. Ejemplos (14'54")     Sinopsis:

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6. Ejemplos (13'09")     Sinopsis:

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7. Ejemplos (25'11")     Sinopsis:

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8. Ejemplos (18'16")     Sinopsis:

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