Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)
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==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito== | ==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito== | ||
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math> una función racional en la variable x. | + | {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Consideremos la función racional en la variable x |
- | + | {{p}} | |
+ | <center><math>\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math></center> | ||
+ | {{p}} | ||
Se cumple que: | Se cumple que: | ||
- | :<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}</math> {{b4}}{{b4}}(lo mismo si <math>x \to - \infty</math>) | + | <center><math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}</math> {{b4}}{{b4}}(análogamente si <math>x \to - \infty</math>)</center> |
Tras simplificar esa fracción, se pueden dar los siguientes casos: | Tras simplificar esa fracción, se pueden dar los siguientes casos: |
Revisión de 07:38 19 dic 2016
Tabla de contenidos[esconder] |
Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
- Decimos que "
tiende a + infinito" (
) cuando
toma valores positivos tan grandes como queramos.
- Decimos que "
tiende a - infinito" (
) cuando
toma valores negativos tan pequeños como queramos.
Nota: A veces te podrás encontrar también la expresión " tiende a infinito" (
) cuando
tiende, indistintamente, a + infinito o a - infinito. Nosotros intentaremos evitarlo para no crear confusión aunque eso nos suponga tener que escribir más.
Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a (o a
) son los siguientes:
si cuando
, los valores de
se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
si cuando
, los valores de
se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
si cuando
, los valores de
se hacen tan proximos a
como se quiera.
- En este caso se dice que la recta
es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.
En estas tres definiciones se puede cambiar por
para obtener otras tres definiciones análogas.
Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en y
, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.
- a)
b)
c)
d)
e)
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito |
Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).
Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito
Proposición
Consideremos la función racional en la variable x

Se cumple que:


Tras simplificar esa fracción, se pueden dar los siguientes casos:
- grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser
ó
.
- grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante,
, que es el valor del límite.
- grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito |