Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)
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==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito== | ==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito== | ||
- | {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Consideremos la función racional en la variable x | + | {{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada: |
{{p}} | {{p}} | ||
<center><math>\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math></center> | <center><math>\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math></center> | ||
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<center><math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}</math> {{b4}}{{b4}}(análogamente si <math>x \to - \infty</math>)</center> | <center><math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}</math> {{b4}}{{b4}}(análogamente si <math>x \to - \infty</math>)</center> | ||
- | Tras simplificar esa fracción, se pueden dar los siguientes casos: | + | Se pueden dar los siguientes casos: |
*'''grado(P) > grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>. | *'''grado(P) > grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>. |
Revisión de 07:44 19 dic 2016
Tabla de contenidos |
Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
- Decimos que "
tiende a + infinito" (
) cuando
toma valores positivos tan grandes como queramos.
- Decimos que "
tiende a - infinito" (
) cuando
toma valores negativos tan pequeños como queramos.
Nota: A veces te podrás encontrar también la expresión " tiende a infinito" (
) cuando
tiende, indistintamente, a + infinito o a - infinito. Nosotros intentaremos evitarlo para no crear confusión aunque eso nos suponga tener que escribir más.
Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a (o a
) son los siguientes:
si cuando
, los valores de
se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
si cuando
, los valores de
se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
si cuando
, los valores de
se hacen tan proximos a
como se quiera.
- En este caso se dice que la recta
es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.
En estas tres definiciones se puede cambiar por
para obtener otras tres definiciones análogas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
En este vídeo hablamos del límite de la función "f" cuando x → +∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. También hablamos del límite de "f" cuando x → -∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞.
Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito
Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en y
, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.
- a)
b)
c)
d)
e)
- a)
(La recta y=0 es una A.H. por
)
-
(La recta y=0 es una A.H. por
)
- b)
-
- c)
-
(La recta y=0 es una A.H. por
)
- d)
-
- e)
-
Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito |
Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).
Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Al calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞) sólo debes preocuparte del sumando de mayor grado, pues es él quien corta el bacalao.
Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito
Proposición
Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:
![\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;](/wikipedia/images/math/a/b/4/ab48694d35b72da0b3b611d4077bf564.png)
Se cumple que:
![\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}](/wikipedia/images/math/f/7/0/f70b5aa7be1744f26878920301bd8bbd.png)
![x \to - \infty](/wikipedia/images/math/1/6/3/1634096fed95ec95058e301f55adfed1.png)
Se pueden dar los siguientes casos:
- grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser
ó
.
- grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante,
, que es el valor del límite.
- grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.
![](/wikipedia/images/thumb/e/ef/Video.gif/22px-Video.gif)
Para calcular el límite de un cociente de polinomios cuando x → +∞ o cuando x → -∞, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de "x" que aparezca en el denominador.
- Si numerador y denominador son de igual grado, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y el denominador.
- Si el numerador es de menor grado que el denominador, el límite es 0.
- Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el límite es +∞ ó -∞ según que el numerador y el denominador tengan igual signo o no.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito |