Plantilla:Ecuaciones logaritmicas

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Revisión de 10:48 6 jun 2017

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

Se deben comprobar siempre las soluciones en la ecuación de partida pues pueden obtenerse soluciones que no sean válidas, como puede verse en el ejemplo c) siguiente.

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) $log \ x + log \ 50 = 3$

b) $5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32$

c) $2\, log \ x= log \ (10-3x)$

Solución:

$log \ x + log \ 50 = 3$

Teniendo en cuenta que $log \ A + log \ B = log \ (A \cdot B)$ y que $3 = log \ 1000$ , tenemos:

$log \ (50x) = log \ 1000$

Y teniendo en cuenta que $log \ A = log \ B \iff A=B$ , se tiene:

$50x=1000 \ \rightarrow \ x=20$

La solución se comprueba en la ecuación de partida y resulta ser válida.
Solución: $x=20\;$

$5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32$

Teniendo en cuenta que $log_a \ B^n = n \ log_a \ B$ y que $32=2^5\;$ :

$log_2 \ (x+3)^5= log_2 \ 2^5$

Como $log \ A = log \ B \iff A=B$ , se tiene:

$(x+3)^5= 2^5\;$

Y, como $a^x = b^x \iff a=b$

$x+3= 2 \ \rightarrow \ x=-1$

Se comprueba en la ecuación de partida y resulta ser válida.
Solución: $x=-1\;$

$2\, log \ x= log \ (10-3x)$

Teniendo en cuenta que $log_a \ B^n = n \ log_a \ B$ , tenemos:

$log \ x^2= log \ (10-3x)$

Como $log \ A = log \ B \iff A=B$ , se tiene:

$x^2= 10-3x \ \rightarrow \ x^2+3x-10=0 \ \rightarrow \ \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-5 \end{cases}$

De las dos soluciones, $x_2=-5\;$ no es válida, porque al comprobarla en la ecuación de partida, $log \ x\;$ no se puede calcular para $x=-5\;$ (El logaritmo de un número negativo no existe).

Solución: $x=2\;$

Ecuaciones logarítmicas

Actividad: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) $ln(x-3)+ln(x+1)=ln\,3+ln(x-1) \;$

b) $2\,(log\,x)^2+7\,log\,x-9=0 \;$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve loge(x-3)+loge(x+1)=loge(3)+loge(x-1) over the reals

b) solve 2*(log10(x))^2+7*log10(x)-9=0

Nota: En WolframAlpha log y loge simbolizan el logaritmo neperiano mientras que el logaritmo decimal es log10.

Ecuaciones logarítmicas

Tutorial (21'07") Sinopsis:

Tutorial que trabaja las ecuaciones logarítmicas, desde muy sencillas que se resuelven utilizando únicamente la definición, hasta otras más completas.

00:00 a 02:36: Repaso de las propiedades de los logaritmos.
02:36 a 08:20: Ejercicios "base" para resolver ecuaciones.
08:20 a 11:55: Ejercicios básicos de ecuaciones logarítmicas, usando la definición de logaritmo.
11:55 a 21:07: Ejercicios de ecuaciones logarítmicas.

Ejemplo 1 (4'09") Sinopsis:

Resuelve:

$log_4 \, (x-3) = 1 - log_4 \, x\;$

Ejemplo 2 (2'55") Sinopsis:

Resuelve:

$log_x \, (6-x) = 2 \, x\;$

Ejemplo 3 (3'22") Sinopsis:

Resuelve:

$log_2 \, 3 + log_2 \, x = log_2 \, 5 + log_2 \, (x-2)\;$

Ejemplo 4 (9'44") Sinopsis:

Resuelve:

$log \, (4x+5) + log \, (x-1) = 2\;$

Ejemplo 5 (5'26") Sinopsis:

Resuelve:

$log_{x+2} \, 3\, + 4 = 6\;$

Ejemplo 6 (7'05") Sinopsis:

Resuelve:

$log_3 \, x + log_9 \, x +log_27 \, x = \cfrac{55}{6}\;$

Ejemplo 7 (11'30") Sinopsis:

Resuelve:

$25^{log_5 \, (x-3)} - 3^{log_3 \, (5x)} + 10^{log \, 6} = 0\;$

Ejemplo 8 (10'41") Sinopsis:

Resuelve:

$log \, (7x+1) = 2^log \, (x+3) -log \, 2\;$

Ejemplo 9 (15'53") Sinopsis:

Resuelve:

$log_3 \, (2x-1) - log_3 \, (5x+2) = log_3 \, (x-2)\, - 2\;$

Ejemplo 10 (10'53") Sinopsis:

Resuelve:

$log_3 \, (x+1) - log_3 \, x = log_3 \, (x+9)\;$

Ejemplo 11 (11'44") Sinopsis:

Resuelve:

$log_4 \, x + log_8 \, x = 1\;$

Ejemplo 12 (6'49") Sinopsis:

Resuelve:

$2ln \, x = ln \, (4x+6)- ln \, 2\;$

Ejemplo 13 (14'17") Sinopsis:

Resuelve:

$log_4 \, (2^x+48) = x-1\;$

Ejemplo 14 (7'51") Sinopsis:

Resuelve:

$(log_2)^2 \, x = log_2 \, x^2 \,+ 3\;$

Ejemplo 15 (8'44") Sinopsis:

Resuelve:

$log \, \sqrt[3]{x} = \sqrt{log \, x}\;$

Ejemplos (10'26") Sinopsis:

Resuelve:

a) $log \, (22-x) = -1 + log \, x\;$

b) $3log \, x = 2log \, x + log \, 3 \;$

2 ejercicios (6´39") Sinopsis:

Resuelve:

$log \, (x+1) - log \, x = 1 \;$
$log \, (x-1) - log \, (x-9) = 3 \;$

2 ejercicios (8´55") Sinopsis:

Resuelve:

$log \, (x-16) + log \, (x+5) = 2 \;$
$2 \, log \, x = 1 + log \, (x-0.9) \;$

2 ejercicios (5´56") Sinopsis:

Resuelve:

$3 \, log \, x - log \, (2x^2+x-2) = 0 \;$
$log \, 2 + log \, (x-3) = log \, \sqrt{2x} \;$

3 ejercicios (7´29") Sinopsis:

Resuelve:

$log \, (x-1) - log \, \sqrt{5+x} =log \, \sqrt{5-x} \;$
$2 \, \left( log \, x \right)^2 - 3 \, log \, x \ + 1 = 0 \;$
$\left( ln \, x \right)^3 - ln \, x = 0 \;$

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