La hipérbola (1ºBach)

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1 La hipérbola
2 Elementos de la hipérbola
3 Excentricidad de la hipérbola
4 Ecuaciones de la hipérbola
5 Construcciones de la hipérbola

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La hipérbola

Dados dos puntos $F\,$ y $F'\,$ llamados focos, y una distancia $k\,$ , llamada constante de la hipérbola ( $k < d(F,F')\,$ ), se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos $P\,$ del plano cuya diferencia de distancias a los focos es, en valor absoluto, igual a $k\,$ :

$\big \{P(x,y) \, / \; |d(P,F)-d(P,F')|=k \big \}$

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Elementos de la hipérbola

Una una hipérbola de focos $F\,$ y $F'\,$ , con asíntotas $r\,$ y $r'\,$ , con ejes de simetría $AA'\,$ y su perpendicular pasando por su centro $O\,$ , determina los siguientes segmentos:

Semieje: $a=\overline{OA}=\overline{OA'}$ .
Semidistancia focal: $c=\overline{OF}=\overline{OF'}$ .

Propiedades

$k=2a\,$ (constante de la hipérbola)
$c^2=a^2+b^2 \quad (c>a)$
Las pendientes de las asíntotas son:

$\cfrac{b}{a}$ y $\; -\cfrac{b}{a}$

Demostración:[Mostrar]

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Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad de la hipérbola es el cociente entre la distancia focal y el eje:

$e=\cfrac{c}{a}$

Propiedades

En una hipérbola $e>1\,$ .

Demostración:[Mostrar]

Excentricidad de la hipérbola Descripción: [Mostrar]

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Ecuaciones de la hipérbola

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Ecuación reducida de la hipérbola

Ecuación reducida de la hipérbola

La ecuación de una hipérbola con semieje $a\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas es:

$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$

Demostración:[Mostrar]

Ecuación reducida de la hipérbola Descripción: [Mostrar]

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Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje Y

La ecuación de una hipérbola con semieje $a\,$ , con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de ordenadas es:

$\cfrac{y^2}{a^2}-\cfrac{x^2}{b^2}=1$

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Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen

La ecuación de una elipse con semieje $a\,$ y centro $O(\alpha,\beta)\,$ es:

Si el eje FF' es paralelo al eje X:

$\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}-\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1$

Si el eje FF' es perpendicular al eje X:

$\cfrac{(y-\beta)^2}{b^2}-\cfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}=1$

Ecuación de la hipérbola con el centro desplazado del origen de coordenadas Descripción: [Mostrar]

Ecuación de la hipérbola con el eje vertical Descripción: [Mostrar]

Ejemplo 1 (parte 1) (9'32") Sinopsis: [Mostrar]

Ejemplo 1 (parte 2) (9'52") Sinopsis: [Mostrar]

Ejemplo 2 (16'15") Sinopsis: [Mostrar]

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Construcciones de la hipérbola

Trazado de la hipérbola a partir de la definición Descripción: [Mostrar]

La hipérbola como envolvente Descripción: [Mostrar]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/La_hip%C3%A9rbola_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

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