Plantilla:Teorema del resto

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

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 |sinopsis=Halla el resto de la división del polinomio <math>x^3-2x^2+9\;</math> entre <math>x+2\;</math>.
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+) Halla el resto de la división del polinomio <math>x^3+x^2+x-1\;</math> entre <math>x-2\;</math>, <math>x+2\;</math>, <math>x-0\;</math> y <math>3-x\;</math>.
+) Determina el valor de k para que
+)
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Revisión de 20:14 20 may 2017

Teorema del Resto

El valor que toma un polinomio, $P(x)\;$ , cuando hacemos $x=a\;$ , coincide con el resto de la división de $P(x)\;$ entre $(x-a)\;$ . Es decir, $P(a)\,= r\,$ , donde $r\,$ es el resto de dicha división.

Demostración:[Mostrar]

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:

$P(x)=Q(x)C(x) + R(x)\,,$

donde $P(x)\,$ es el dividendo, $Q(x)\,$ el divisor, $C(x)\,$ el cociente y $R(x)\,$ el resto y verificándose además, que el grado de $R(x)\,$ es menor que el grado de $Q(x)\,$ .

En efecto, si tomamos el divisor $Qx) = x-a\,$ , entonces $R(x)\,$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar $r\;$ , y la fórmula anterior se convierte en:

$P(x)=(x-a)c(x) + r\,.$

Tomando el valor $x=a \!\,$ se obtiene que:

$\frac{}{}P(a)=r$

Ejemplo: Teorema del Resto

Calcula el resto de dividir el polinomio $x^3 - 3x^2 - 7\;$ entre $(x-2)\;$

Solución:[Mostrar]

Bastará calcular $P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11$

Así el resto será $r=P(2)=-11\;$

Teorema del resto [Mostrar]

Teorema del resto (8´) Sinopsis: [Mostrar]

Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.