Plantilla:Teorema del resto

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(Diferencia entre revisiones)

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 *Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:
-:1) Halla el resto de dividir el polinomio <math>2x^4-5x^3+3x-6\;</math> entre el binomio <math>x-2\;</math>.
+:1) Halla el resto de dividir el polinomio <math>2x^4-5x^3+3x-6\;</math> entre el binomio <math>(x-2)\;</math>.
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 ) Halla el resto de la división del polinomio <math>x^3+x^2+x-1\;</math> entre <math>(x-2)\;</math>, <math>(x+2)\;</math>, <math>(x-0)\;</math> y <math>(3-x)\;</math>.
-) Determina el valor de k para que el polinomio <math>Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\;</math> sea divisible por <math>x-2\;</math>.
+) Determina el valor de k para que el polinomio <math>Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\;</math> sea divisible por <math>(x-2)\;</math>.
-) Sea <math>T(x)=4x^3-2kx^2+k^2 x-k\;</math>. Halla el valor de k para que el resto de la división de <math>T(x)\;</math> entre <math>x-1\;</math> sea igual a 2.
+) Sea <math>T(x)=4x^3-2kx^2+k^2 x-k\;</math>. Halla el valor de k para que el resto de la división de <math>T(x)\;</math> entre <math>(x-1)\;</math> sea igual a 2.
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Revisión de 20:48 20 may 2017

Teorema del Resto

El valor que toma un polinomio, $P(x)\;$ , cuando hacemos $x=a\;$ , coincide con el resto de la división de $P(x)\;$ entre $(x-a)\;$ . Es decir, $P(a)\,= r\,$ , donde $r\,$ es el resto de dicha división.

Demostración:[Mostrar]

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:

$P(x)=Q(x)C(x) + R(x)\,,$

donde $P(x)\,$ es el dividendo, $Q(x)\,$ el divisor, $C(x)\,$ el cociente y $R(x)\,$ el resto y verificándose además, que el grado de $R(x)\,$ es menor que el grado de $Q(x)\,$ .

En efecto, si tomamos el divisor $Qx) = x-a\,$ , entonces $R(x)\,$ tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar $r\;$ , y la fórmula anterior se convierte en:

$P(x)=(x-a)c(x) + r\,.$

Tomando el valor $x=a \!\,$ se obtiene que:

$\frac{}{}P(a)=r$

Ejemplo: Teorema del Resto

Calcula el resto de dividir el polinomio $x^3 - 3x^2 - 7\;$ entre $(x-2)\;$

Solución:[Mostrar]

Bastará calcular $P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11$

Así el resto será $r=P(2)=-11\;$

Teorema del resto [Mostrar]

Teorema del resto (8´) Sinopsis: [Mostrar]

Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.

Teorema del resto (más general) (12´46") Sinopsis:[Mostrar]

Teorema del resto para la división de un polinomio entre un binomio del tipo (ax+b).
Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:

1) Halla el resto de dividir el polinomio $2x^4-5x^3+3x-6\;$ entre el binomio $(x-2)\;$ .

2) Halla el resto de dividir el polinomio $9x^3+3x^2+3x+1\;$ entre el binomio $(3x+1)\;$ .

Ejercicio 1 (3'33") Sinopsis: [Mostrar]

Halla el resto de la división del polinomio $x^3-2x^2+9\;$ entre $(x+2)\;$ .

Ejercicio 2 (7'08") Sinopsis: [Mostrar]

Halla el valor de $k\;$ para que la división del polinomio $5x^4-x^2+kx-4\;$ entre $(x+2)\;$ sea exacta.

Ejercicios 3 (11´) Sinopsis: [Mostrar]

1) Halla el resto de la división del polinomio $x^3+x^2+x-1\;$ entre $(x-2)\;$ , $(x+2)\;$ , $(x-0)\;$ y $(3-x)\;$ .

2) Determina el valor de k para que el polinomio $Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\;$ sea divisible por $(x-2)\;$ .

3) Sea $T(x)=4x^3-2kx^2+k^2 x-k\;$ . Halla el valor de k para que el resto de la división de $T(x)\;$ entre $(x-1)\;$ sea igual a 2.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Teorema_del_resto"

Plantilla:Teorema del resto

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Revisión de 20:48 20 may 2017

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