Fórmulas trigonométricas (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos
2 Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
3 Razones trigonométricas del ángulo doble
4 Razones trigonométricas del ángulo mitad
5 Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos
6 Ejercicios propuestos

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

I.1: $sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$

I.2: $cos \, (\alpha + \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta$

I.3: $tg \, (\alpha + \beta) = \frac{tg \, \alpha + tg \, \beta}{1 - tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}$

Demostración:

I.1:

$sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}$

En el triángulo ABC: $\overline{CA}=\overline{AB} \cdot cos \, \alpha$

En el triángulo OAQ: $\overline{AQ}=\overline{OA} \cdot sen \, \alpha$

En el triángulo OBA: $\begin{cases} \overline{AB}=\overline{OB} \cdot sen \, \beta \\ \overline{OA}=\overline{OB} \cdot cos \, \beta \end{cases}$

Sustituyendo:

$sen \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{BP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{CA}+\overline{AQ}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{AB} \cdot cos \, \alpha +\overline{OA} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$=\cfrac{\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot cos \, \alpha +\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$= sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha$

I.2:

$cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}$

En el triángulo ABC: $\overline{BC}=\overline{AB} \cdot sen \, \alpha$

En el triángulo OAQ: $\overline{OQ}=\overline{OA} \cdot cos \, \alpha$

Sustituyendo:

$cos \, (\alpha + \beta)=\cfrac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OQ}-\overline{BC}}{\overline{OB}}=\cfrac{\overline{OA} \cdot cos \, \alpha -\overline{AB} \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$\cfrac{\overline{OB} \cdot cos \, \beta \cdot cos \, \alpha -\overline{OB} \cdot sen \, \beta \cdot sen \, \alpha}{\overline{OB}}=$

$= cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta$

I.3:

$tg \, (\alpha + \beta)=\cfrac{sen \, (\alpha + \beta)}{cos \, (\alpha + \beta)}=\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha + cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta - sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}=$

(Dividiendo numerador y denominador por $cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta$ )

$=\cfrac{\cfrac{sen \, \beta \cdot cos \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} + \cfrac{cos \, \beta \cdot sen \, \alpha}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}{\cfrac{cos \, \alpha \cdot cos \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta} - \cfrac{sen \, \alpha \cdot sen \, \beta}{cos \, \alpha \cdot \cos \, \beta}}=\cfrac{tg \, \beta + tg \, \alpha}{1-tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}$

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos (12´41) Sinopsis:

Fórmulas trigonométricas de la suma de dos ángulos con demostración.

Ejemplo: Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Calcula el valor exacto de $sen \, 75^\circ \,$ (sin calculadora)

Solución:

$sen \, 75^\circ= sen \, (45^\circ + 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ + cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=$

$= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+ \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}+1)}{4}$

Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

Ejemplo 1 (3´15") Sinopsis:

Halla el valor exacto de $cos \, 105^o$ .

Ejemplo 2 (14´12") Sinopsis:

Halla el valor exacto de $tg \, 75^o$ .

Ejercicio 1 (3´52") Sinopsis:

Hallar las razones trigonométricas de $θ + μ$ sabiendo que $θ$ y $μ$ son del segundo cuadrante y que $s e n θ = 1 / 2$ y que $c o s μ = - 2 / 3$ .

Ejercicio 2 (3´01") Sinopsis:

Demostrar que si A+B+C=180º, entonces tg A + tg B + tg C = tg A · tg B · tg C.

Razones trigonométricas de la suma de tres ángulos (5´23") Sinopsis:

Seno, coseno y tangente de la suma de tres ángulos.

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

II.1: $sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$

II.2: $cos \, (\alpha - \beta) = cos \, \alpha \cdot cos \, \beta + sen \, \alpha \cdot sen \, \beta$

II.3: $tg \, (\alpha - \beta) = \frac{tg \, \alpha - tg \, \beta}{1 + tg \, \alpha \cdot tg \, \beta}$

Demostración:

Para las demostraciones basta sustituir $\alpha - \beta \,$ por $\alpha + (-\beta) \,$ y aplicar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y tener en cuenta las relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo y su opuesto:

$sen \, (-\alpha)=-sen \, \alpha \, , \quad cos \, (-\alpha)=cos \, \alpha \, , \quad tg \, (-\alpha)=-tg \, \alpha$

Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos (7´08) Sinopsis:

Fórmulas trigonométricas de la diferencia de dos ángulos con demostración.

Ejemplo: Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Calcula el valor exacto de $sen \, 15^\circ$ (sin calculadora)

Solución:

$sen \, 15^\circ= sen \, (45^\circ - 30^\circ)=sen \, 45^\circ \cdot cos \, 30^\circ - cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ=$

$= \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}- \cfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}-1)}{4}$

Valor exacto de sen 15º (3´49") Sinopsis:

Obtención del valor exacto de sen 15º a partir de la fórmula del seno del ángulo diferencia.

Ejemplo (9´55") Sinopsis:

Obtención del valor exacto de $cos \left( arc\,sen \cfrac{8}{17} - arc\,cos \cfrac{12}{13} \right)$ .

Razones trigonométricas del ángulo doble

Razones trigonométricas del ángulo doble

III.1: $sen \, (2 \, \alpha) = 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \alpha$

III.2: $cos \, (2 \, \alpha) = cos^2 \, \alpha - sen^2 \, \alpha$

III.3: $tg \, (2 \, \alpha) = \frac{2 \, tg \, \alpha}{1 - tg^2 \, \alpha}$

Demostración:

Basta utilizar las fórmulas de la suma (I.1, I.2 y I.3) y hacer $\alpha= \beta \,$ .

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo doble

Calcula el valor de $cos \, 120^\circ \,$ a partir de las razones trigonométricas de 60º.

Solución:

$cos \, 120^\circ= cos^2 \, 60^\circ - sen^2 \, 60^\circ=\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{2}$

Ejemplo 1 (7´04") Sinopsis:

Si $tan \, \alpha = \cfrac{4}{3}$ y $\alpha \in III$ , halla el valor exacto de $sen \, 2\alpha$ .

Ejemplo 2: Comprobar identidades trigonométricas (2´48") Sinopsis:

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica:

$4 \,sen^2 \alpha \cdot cos^2 \alpha = 1 - cos^2 (2\alpha)\;$

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Razones trigonométricas del ángulo mitad

IV.1: $sen \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{2}}$

IV.2: $cos \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1+cos \, \alpha}{2}}$

IV.3: $tg \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \pm \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{1+cos \, \alpha}}$

Demostración:

Teniendo en cuenta que $\alpha= 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2}$ y utilizando la fórmula III.2 del coseno del ángulo doble, tenemos:

$cos \, \alpha=cos \, \Big( 2 \cdot \cfrac{\alpha}{2} \Big) = cos^2 \, \cfrac{\alpha}{2}- sen^2 \cfrac{\alpha}{2}$

que combinado con la fórmula fundamental, nos da el siguiente sistema:

$\begin{cases} cos \, \alpha = cos^2 \cfrac{\alpha}{2} - sen^2 \cfrac{\alpha}{2} \\ 1= cos^2 \cfrac{\alpha}{2} + sen^2 \cfrac{\alpha}{2} \end{cases}$

Sumando y restando ambas ecuaciones, tenemos las siguientes expresiones:

$\begin{cases} 1 + cos \, \alpha = 2 \, cos^2 \cfrac{\alpha}{2} \\ 1 - cos \, \alpha = 2 \, sen^2 \cfrac{\alpha}{2}\end{cases}$

De estas igualdades se despejan $cos \, \cfrac{\alpha}{2}$ y $sen \, \cfrac{\alpha}{2}$ , y a partir de ellos, se obtiene el valor de $tg \, \cfrac{\alpha}{2}$ .

Razones trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad (8´03) Sinopsis:

Fórmulas trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad con demostración.

Tangente del ángulo mitad (7´40) Sinopsis:

Demostración de la fórmula de la tangente del ángulo mitad.

Ejemplo: Razones trigonométricas del ángulo mitad

Calcula el valor exacto de $tg \, 22^\circ \, 30'$ (sin calculadora).

Solución:

$tg \, 22^\circ \, 30'= tg \Big( \cfrac{45^\circ}{2} \Big)=\sqrt{\cfrac{1-cos \, 45^\circ}{1+cos \, 45^\circ}}=\sqrt{\cfrac{1-\cfrac{\sqrt{2}}{2}}{1+\cfrac{\sqrt{2}}{2}}}=\cfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=-1+\sqrt{2}$

Ejercicio (5´22") Sinopsis:

Determinar el $s e n 3θ$ en función del $s e n θ$ .
Determinar el $c o s 3θ$ en función del $c o s θ$ .

Ejercicio (4´58") Sinopsis:

Si $μ$ es un ángulo del tercer cuadrante, y $t g μ = 3$ , determinar las razones trigonométricas de $μ / 2$ .

Transformaciones de sumas y diferencias de senos y cosenos en productos

Transformaciones de sumas en productos

V.1: $sen \, A + sen \, B = 2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}$

V.2: $sen \, A - sen \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}$

V.3: $cos \, A + cos \, B = 2 \, cos \, \cfrac{A+B}{2} \cdot cos \, \cfrac{A-B}{2}$

V.4: $cos \, A - cos \, B = -2 \, sen \, \cfrac{A+B}{2} \cdot sen \, \cfrac{A-B}{2}$

Demostración:

V.1 y V.2:

Partiendo de las expresiones del I.1 y II.1 del seno de una suma y de una diferencia:

I.1: $sen \, (\alpha + \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta + cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$

II.1: $sen \, (\alpha - \beta) = sen \, \alpha \cdot cos \, \beta - cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$

Sumando y restando ambas expresiones, obtenemos:

Sumando: $sen \, (\alpha + \beta) +sen \, (\alpha - \beta)= 2 \, sen \, \alpha \cdot cos \, \beta$ [1]

Restando: $sen \, (\alpha + \beta) -sen \, (\alpha - \beta)= 2 \, cos \, \alpha \cdot sen \, \beta$ [2]

Hacemos los siguientes cambios de variable: $\begin{cases} \alpha + \beta = A \\ \alpha - \beta = B \end{cases}$

Resolviendo este sistema:

$\begin{cases} \alpha = \cfrac{A+B}{2} \\ \beta = \cfrac{A-B}{2} \end{cases}$

que sustituidas en [1] y [2] nos da V.1 y V.2.

Transformación de una suma y de una diferencia en un producto (6´46) Sinopsis:

Fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia en producto con demostración.

Transformación de una suma y de una diferencia de cosenos en un producto (13´46) Sinopsis:

Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de cosenos en producto.

Transformación de una suma y de una diferencia de senos en un producto (13´00) Sinopsis:

Demostración de las fórmulas trigonométricas de la transformación de la suma o diferencia de senos en producto.

Ejemplo: Transformaciones de sumas en productos

Transforma en producto y calcula: $sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ$ .

Solución:

$sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ= 2 \, cos \, \cfrac{75^\circ+15^\circ}{2} \cdot sen \, \cfrac{75^\circ-15^\circ}{2}=$

$= 2 \, cos \, 45^\circ \cdot sen \, 30^\circ= 2 \, \cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \cfrac{1}{2}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$

Fórmulas trigonométricas

a) Calcula: $sen \, 75^\circ -sen \, 15^\circ$

b) Obtén: $sen(x-y)\,$

c) Factoriza: $sen(x)+sen(y)\,$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) simplify sin(75º)-sin(15º)

b) expand sin(x-y)

c) factor sin(x)+sin(y)

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Fórmulas trigonométricas

(Pág. 130-133)

5, 7, 9, 11, 14, 15, 17b,c, 18

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13

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Categorías: Matemáticas | Geometría

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