Algunos límites importantes (1ºBach)

Comprobación: Si en la sucesión de Fibonacci

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

que expresada con decimales nos da:

Demostración:

Por construcción de la sucesión de Fibonacci:

Dividiendo ambos miembros por :

Tomando límites en ambos miembros:

Llamando , tenemos:

ecuación de segundo grado cuya única raíz válida es:

• Si , entonces

    y    .

(Por ejemplo, si a₁ = 3 y r = 0.5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)

y por tanto

• Si , entonces

  y  

(Por ejemplo, si a₁ = 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a . Mientras que si a₁ = − 3 y r = 5, al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a )

y por tanto

• Si , entonces va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión también va a oscilar en signo y no tiene límite.

• Si , el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:

y la sucesión sería:

que oscila y no tiene límite.

• Si , la progresión quedaría constante:

, .

y tendríamos que , cuyo límite es: