Aplicaciones de la derivada (2ºBach)
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Estudio del crecimiento y de los puntos singulares
Procedimiento
Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:
- En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
- En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.
Tutorial 1a (13'02") Sinopsis: Funciones crecientes y decrecientes
Tutorial 1b (7'19") Sinopsis: Criterios de crecimiento y decrecimiento
Ejercicio 1a (2'55") Sinopsis: Estudia el crecimiento de 
Ejercicio 1b (4'01") Sinopsis: Estudia el crecimiento de 
Ejercicio 1c (8'31") Sinopsis: Estudia el crecimiento de 
Ejercicio 2 (3'10") Sinopsis: Demuestra que 
es positiva y decreciente en el intervalo (0,1).
Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.
Esos puntos pueden ser puntos extremos (máximos o mínimos), pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.
Tutorial 1a (11'58") Sinopsis:Monotonía y extremos relativos
Tutorial 1b (17'13") Sinopsis:Monotonía y extremos relativos.Ejemplos
Tutorial 2 (23'32") Sinopsis: ¿Qué son los puntos máximos, mínimos, locales y globales, crecimiento y decrecimiento?
Tutorial 3a (13'46") Sinopsis: Determinación de los extremos relativos
Tutorial 3b (14'45") Sinopsis: Determinación de máximos y mínimos absolutos
Ejercicio 1 (9'04") Sinopsis:Estudia el crecimiento y los puntos extremos de 
Ejercicio 2a (13'12") Sinopsis: Estudia el crecimiento y los puntos extremos de 
Ejercicio 2b (11'57") Sinopsis: Estudia el crecimiento y los puntos extremos de 
Ejercicio 2c (11'34") Sinopsis: Estudia el crecimiento y los puntos extremos de 
Ejercicio 2d (6'49") Sinopsis: Halla los máximos y mínimos de 
Ejercicio 2e (7'42") Sinopsis: Encuentra el valor de "k" tal que 
tenga un máximo local en x=-2.
Ejercicio 3a (4'58") Sinopsis: Halla los máximos y mínimos de 
Ejercicio 3b (8'11") Sinopsis: Halla los máximos y mínimos de 
Ejercicio 3c (9'43") Sinopsis: Halla los máximos y mínimos de 
Ejercicio 3d (7'52") Sinopsis: Halla los máximos y mínimos de 
Ejercicio 3e (7'02") Sinopsis: Halla los máximos y mínimos de 
Ejercicio resuelto: Puntos singulares y crecimiento
Dada la función 
, halla sus puntos singulares y estudia su crecimiento.
Puntos singulares:
Para estudiar el crecimiento determinaremos el signo de la función derivada mediante una tabla en la que estableceremos zonas delimitadas por los puntos singulares y por los puntos de discontinuidad, si los hubiese. En nuestro caso hay 3 zonas porque hay 2 puntos singulares y no hay discontinuidades, por tratarse f'(x) de una función polinómica.
-inf 1 3 +inf
-----!------!-------!------!
f'(x)! + ! - ! + !
-----!------!-------!------!
f(x)! Cre ! Decre ! Cre !
----------------------------
Como f(1)=6 y f(3)=2, el anterior análisis del crecimiento nos permite determinar que (1,6) es un máximo y (3,2) es un mínimo.
Actividad: Extremos relativos Nota para los cursos de secundaria: Algunas de las siguientes actividades son sólo ilustrativas ya que su resolución manual requiere conocimientos de 1º de bachillerato.
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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.
Utilidad de la segunda derivada
Derivadas de orden superior (16'51") Sinopsis: Concavidad y puntos de inflexión (30'41") Sinopsis: Concavidad:
Ejercicio 1 (2'44") Sinopsis: Estudia la concavidad de 
.
Ejercicio 2 (5'20") Sinopsis: Estudia la concavidad de 
.
Ejercicio 3 (8'28") Sinopsis: Estudia la concavidad de 
.
Puntos de inflexión:
Ejercicio 1 (4'07") Sinopsis: Estudia la concavidad de 
.
Ejercicio 2 (11'24") Sinopsis: Estudia la concavidad de 
.
Ejercicio 3 (7'02") Sinopsis: Estudia la concavidad de 
.
Ejercicio 4 (7'30") Sinopsis: Hallar "a", "b" y "c" para que la función 
tenga un máximo relativo en (0,3) y un punto de inflexión en x=1.
Máximos y mínimos (usando f "):
Ejercicio 1 (5'16") Sinopsis: Estudia los máximos y mínimos de 
.
Ejercicio 2 (9'04") Sinopsis: Estudia los máximos y mínimos de No se pudo entender (función desconocida\cfac): f(x)=\cfac{1}{3}x^3-x\; .
Ejercicio 3 (8'59") Sinopsis: Estudia los máximos y mínimos de 
.
Ejercicio 4 (5'33") Sinopsis: Estudia los máximos y mínimos de 
.
Ejercicio 5 (16'49") Sinopsis: Estudia los máximos y mínimos de No se pudo entender (función desconocida\cfac): f(x)=\cfac{x^2-3}{x^3}\; .
Ejercicios
Problema (4'18") Sinopsis: Si el lado de un cuadrado aumenta a una velocidad constante de 3cm/seg, halla la velocidad a la que aumenta el área del cudrado cuando el lado mide 12 cm, y calcula el valor del lado cuando el área crece a 60 cm2/seg.
