Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)
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|sinopsis=El producto de dos números complejos es -8. Halla sus módulos y argumentos sabiendo que uno de ellos es el cuadrado del otro. | |sinopsis=El producto de dos números complejos es -8. Halla sus módulos y argumentos sabiendo que uno de ellos es el cuadrado del otro. | ||
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Revisión de 09:10 26 jul 2017
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Tabla de contenidos |
Multiplicación de números complejos en forma polar
Producto de complejos en forma polar
El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.
|
Expresando los complejos en forma trigonométrica:
![r_\alpha = r \, (cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha) \, , \quad s_\beta = s \, (cos \, \beta + i \, sen \, \beta)](/wikipedia/images/math/f/5/7/f57c0bd630e798b19b118575f44afc15.png)
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se representan las multiplicaciones de números complejos en forma polar.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Videotutorial.
Potencias de números complejos en forma polar
Potencia de un complejo en forma polar
- La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:
|
La potencia n-ésima de un compejo es el resultado de multiplicar dicho complejo por sí mismo n veces, por tanto, aplicando la fórmula del producto:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se representan las potencias de números complejos en forma polar.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Potencias sucesivas de la unidad imaginaria. Ejemplos.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
3 ejercicios.
Fórmula de Moivre
Fórmula de Moivre
Basta aplicar la fórmula de la potencia de un complejo en forma polar y tener en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo:
Calcula y
mediante la fórmula de Moivre.
Solución:
Hay que hacer n=2 en la fórmula de Moivre, desarrollar el cuadrado de la izquierda, y después igualar las partes reales y las partes imaginarias en la igualdad.
División de números complejos en forma polar
División de complejos en forma polar
La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.
|
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se representan las divisiones de números complejos en forma polar.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Videotutorial.
![](/wikipedia/images/thumb/1/12/Unicoos.jpg/22px-Unicoos.jpg)
3 ejemplos.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Operaciones con complejos en forma polar |
Radicación de números complejos en forma polar
Un número complejo es una raíz n-ésima de otro complejo
si se cumple que
.
Raíces de un complejo
- Un número complejo
tiene exactamente n raíces n-ésimas
, que se obtienen de la siguiente manera:
![r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[n]{R} \\ \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}](/wikipedia/images/math/4/a/5/4a5dd4f3f68e14f0c8013ccc27085e5e.png)
- Además, las n raíces están ubicadas en el plano complejo en los vértices de un polígono regular de n lados cuyo centro es el origen de coordenadas.
Por la definición de raíz n-ésima:
Igualando módulos ya rgumentos:
A partir de k=n, los ángulos que se obtienen son coterminales con los ya obtenidos.
Para la segunda parte, fíjate que todas las raíces tienen el mismo módulo, por lo que están a la misma distancia del origen, es decir, están en una circunferencia de centro el origen y radio .
En cuanto a los argumentos, tenemos que:
![\alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}=\cfrac{A}{n}+\cfrac{2\pi}{n}\,k](/wikipedia/images/math/5/e/e/5eeae3a5b9b005b0518fb86f9ab0ed80.png)
por lo que cada raíz se obtiene girando la anterior un mismo ángulo . Como este ángulo resulta de dividir en n partes iguales una vuelta completa de circunferencia, las n raíces están separadas entre sí por un mismo ángulo central.
Calcula
Solución:
Primero pasamos el complejo a forma polar:
Así,
Ahora procedemos a calcular sus 3 raíces cubicas:
, siendo
De donde
Soluciones:
![](/wikipedia/images/thumb/d/dd/Geogebra.png/22px-Geogebra.png)
En esta escena podrás ver como se representan las raíces de números complejos en forma polar.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Videotutorial.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
2 ejercicios (Raíces sextas de -64 y de 64).
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
2 ejercicios (Raíces cúbicas de 1 y de -1).
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
2 ejercicios (Raíces cuartas de 1 y de -1).
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Halla las raíces cuartas de .
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Los afijos de los números complejos ,
y
son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de centro el origen de coordenadas. Sabiendo que
, calcula
y
.
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos: Raíces de números complejos |
Ejercicios
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Multiplicaciones, divisiones y potencias de complejos en forma polar.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Sea , calcula:
a)
b)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Encuentra las ecuaciones de segundo grado cuyas raíces son:
a)
b)
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Resolución de ecuaciones con soluciones complejas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
El producto de dos números complejos es -8. Halla sus módulos y argumentos sabiendo que uno de ellos es el cuadrado del otro.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Calcula y
mediante el producto