Figuras semejantes (2º ESO)

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#Si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero. #Si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero.
-#Si un cuabo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero.+#Si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero.
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'''Solución 1:''' '''Solución 1:'''

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Tabla de contenidos

(Pág. 194)

Figuras semejantes

  • Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque sus tamaños u orientación sean diferentes.
  • El tener la misma forma lo expresaremos matemáticamente diciendo que los segmentos correspondientes de una y otra figura son proporcionales, es decir, la longitud de uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud del correspondiente por una cantidad fija, llamada razón de semejanza.

ejercicio

Propiedades

En dos figuras semejantes se cumple:

  • Un ángulo en una de las figuras es igual al ángulo correspondiente en la otra figura.
  • Una razón en una de las figuras es igual a la razón correspondiente en la otra figura.

ejercicio

Ejemplo 1: Figuras semejantes

Tenemos dibujado en un papel un rectángulo de dimensiones 12 cm x 8 cm. Hacemos una fotocopia reducida y obtenemos otro rectángulo de dimensiones 3 cm x 2 cm.

a) Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza.
b) Calcula el procentaje de reducción aplicado en la fotocopia.
c) Comprueba que se cumplen las propiedades de las figuras semejantes relativas a ángulos y razones.
Solución:
Solución:

a) Razón de semejanza:

Si dividimos las longitudes del rectángulo pequeño entre las correspondientes del grande, obtenemos:

\cfrac{3}{12}=\cfrac{2}{8}=0.25

Por tanto la razón de semejanza es 0.25.

b) Porcentaje:

La razón de semejanza puede expresarse en porcentaje:

0.25 \cdot 100= 25%\;

Por tanto la fotocopia es una reducción del 25%.

c) Propiedades:

  • Los dos rectángulos tienen todos sus ángulos de 90º, es decir, la reducción no ha afectado a los ángulos.
  • La razón o proporción entre sus lados tampoco se ha visto afectada por la reducción:
    • Primer rectángulo: \cfrac{12}{8} = 1.5
    • Segundo rectángulo: \cfrac{3}{2} = 1.5

ejercicio

Ejemplo 2: Figuras semejantes

Dos triángulos semejantes tienen una razón de semejanza de 0.75. Si los lados del mayor miden 12, 8 y 16 cm, respectivamente, ¿cuánto miden los lados del menor?

Solución:

Solución:

Llamemos a, b y c, a los lados del triángulo mayor, y a´, b´ y c´, a los del menor.

Sabemos que a=12 cm, b=8 cm y c=16 cm.

Como la razón de semejanza es 0.75, al dividir los lados del triángulo mayor entre sus correspondientes del menor, el resultado deberá ser 0.75:

\cfrac{a'}{a}=\cfrac{b'}{b}=\cfrac{c'}{c}=0.75

Entonces:

\cfrac{a'}{12}=0.75 \ \rightarrow \ a'=12 \cdot 0.75=9~ cm
\cfrac{b'}{8}=0.75 \ \rightarrow \ b'=8 \cdot 0.75=6~ cm
\cfrac{c'}{16}=0.75 \ \rightarrow \ c'=16 \cdot 0.75=12~ cm

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Figuras semejantes

(Pág. 195)

1, 2

(Pág. 196)

Relación entre las áreas y los volúmenes de dos figuras semejantes

ejercicio

Propiedades

Si la razón de semejanza entre dos figuras es k\;, entonces la razón entre sus áreas es k^2\; y entre sus volúmenes, k^3\;.

ejercicio
Ejemplos
  1. Si un cuadrado tiene 5 cm de lado y el de otro cuadrado mide el doble, 10 cm, entonces el área de éste es el cuádruple de la del primero.
  2. Si un cubo tiene 5 cm de arista y la de otro cubo mide el doble, 10 cm, entonces el volumen de éste es 8 veces la del primero.

Solución 1:

En efecto, como la razón entre los lados es k=2\;, la razón entre sus áreas es k^2=2^2=4\;.

Si hallamos el área de cada cuadrado lo podremos comprobar:

  • Área cuadrado pequeño= 5^2=25~cm^2\;
  • Área cuadrado grande= 10^2=100~cm^2\;

En efecto, el área del grande es el cuádruple del área del pequeño.

Solución 2:

En efecto, como la razón entre las aristas es k=2\;, la razón entre sus volúmenes es k^3=2^3=8\;.

Si hallamos los volúmenes de cada cubo lo podremos comprobar:

  • Volumen cubo pequeño= 5^3=125~cm^2\;
  • Volumen cubo grande= 10^3=1000~cm^2\;

En efecto, el volumen del grande es 8 veces el del pequeño.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Figuras semejantes

(Pág. 196)

1

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