Combinatoria
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| |sinopsis=¿De cuántas maneras distintas podemos ordenar 3 bolas verdes, 2 rojas y 1 azul? | |sinopsis=¿De cuántas maneras distintas podemos ordenar 3 bolas verdes, 2 rojas y 1 azul? | ||
| |url1=https://www.youtube.com/watch?v=K3idWlPI3Dw&list=PL11093011D1BF0C20&index=4 | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=K3idWlPI3Dw&list=PL11093011D1BF0C20&index=4 | ||
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| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | |||
| + | ==Combinaciones== | ||
| + | {{Caja Amarilla|texto=Se llaman '''combinaciones''' de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por <math> C^k_n \,</math> o <math> C_{n,k} \,</math>, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.}} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado= | ||
| + | El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula: | ||
| + | |||
| + | <center><math>C^k_n = {n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}</math></center> | ||
| + | |demo='''Demostración:''' | ||
| + | |||
| + | Si se tiene un conjunto con ''n'' elementos, de los cuales se van a escoger ''k'' de ellos, la selección (ordenada) puede hacerse de | ||
| + | {{p}} | ||
| + | <center><math> n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots \cdot (n-k+1) </math></center> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | formas, ya que en el primer paso se tienen ''n'' opciones, en el segundo se tienen ''n''-1, en el tercero ''n''-2, y así sucesivamente, terminando en el paso ''k'' que tendrá ''n-k''+1 opciones. | ||
| + | |||
| + | Ahora, para eleiminar los conjuntos repetidos, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones "equivalentes" (conjuntos con los mismos elementos en distinto orden). Pero si se tiene ''k'' objetos, hay k! formas de permutarlos, es decir, k! formas de listarlos en distinto orden. | ||
| + | |||
| + | Concluimos que el número de subconjuntos con ''k'' elementos, escogidos de un conjunto con ''n'' elementos es | ||
| + | <center><math> {n\choose k} = \frac{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \dots (n-k+1)}{k!}</math></center> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | Multiplicando el numerador y el denominador por <math>1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-k) \;</math> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | <center><math> {n\choose k} = \frac{ 1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-k)\cdot (n-k+1)\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}{1\cdot 2 \cdot 3\cdots (n-k) \cdot k!}</math></center> | ||
| + | {{p}} | ||
| + | o lo que es lo mismo, expresado con factoriales: | ||
| + | {{p}} | ||
| + | <center><math>{n\choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}</math></center> | ||
| + | |||
| + | c.q.d. | ||
| + | |||
| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | {{Videotutoriales|titulo=Números combinatorios|enunciado= | ||
| + | {{Video_enlace_profesor10demates | ||
| + | |titulo1=Tutorial | ||
| + | |duracion=6'01" | ||
| + | |sinopsis=Tutorial sobre números combinatorios. | ||
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| + | |sinopsis=Calcula <math>C_{6,5}\;</math> | ||
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| + | {{Video_enlace_childtopia | ||
| + | |titulo1=Ejercicio 2 | ||
| + | |duracion=1'29" | ||
| + | |sinopsis=Calcula <math>C_{8,5}\;</math> | ||
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| + | ---- | ||
| + | {{Video_enlace_childtopia | ||
| + | |titulo1=Problema 1 | ||
| + | |duracion=1'48" | ||
| + | |sinopsis=Calcula cuántos zumos de cuatro frutas distintos se pueden hacer con siete clases de fruta. | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=VgfyU60lx88&index=1&list=PLB38EE06D8FA1BAAF | ||
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| + | |||
| + | {{Video_enlace_childtopia | ||
| + | |titulo1=Problema 2 | ||
| + | |duracion=1'20" | ||
| + | |sinopsis=Vicente tiene 5 amigos y quiere salir cada sábado con 3 amigos diferentes. ¿Cuántos sábados podrá salir sin repetir? | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=NvTprfWyLzU&index=2&list=PL4928D99F127C9E05 | ||
| + | }} | ||
| + | {{Video_enlace_childtopia | ||
| + | |titulo1=Problema 3 | ||
| + | |duracion=1'04" | ||
| + | |sinopsis=Tenemos cuatro colores (verde, rojo, azul y amarillo). ¿Cuántas mezclas diferentes podemos hacer si los mezclamos dos a dos? | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=zWbtu1OhmEc&list=PL4928D99F127C9E05&index=3 | ||
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| + | {{Video_enlace_childtopia | ||
| + | |titulo1=Problema 4 | ||
| + | |duracion=1'04" | ||
| + | |sinopsis=Tu profesora de Lengua Castellana te dice que, cuando acabes el curso, tienes que haber leído 3 libros de una lista de 5. ¿Cuántas posibles elecciones puedes hacer? | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=yATACXRkA1k&list=PL4928D99F127C9E05&index=4 | ||
| + | }} | ||
| + | {{Video_enlace_childtopia | ||
| + | |titulo1=Problema 5 | ||
| + | |duracion=2'18" | ||
| + | |sinopsis=En un colegio una comisión consta de 2 profesores y 4 alumnos. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden formar con 7 profesores y 10 alumnos? | ||
| + | |url1=https://www.youtube.com/watch?v=jphz5Zha54s&list=PL4928D99F127C9E05 | ||
| + | }} | ||
| + | {{Video_enlace_unicoos | ||
| + | |titulo1=Problema 6 | ||
| + | |duracion=6'43" | ||
| + | |sinopsis=Cálculo del número de apuestas de lotería primitiva distintas que se pueden hacer. | ||
| + | |url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/4-eso/combinatoria/combinaciones/combinatoria-01-combinaciones-sin-repeticion | ||
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| + | {{wolfram desplegable|titulo=Números combinatorios|contenido= | ||
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| + | |titulo=Actividad: ''Números combinatorios'' | ||
| + | |cuerpo= | ||
| + | {{ejercicio_cuerpo | ||
| + | |enunciado= | ||
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| + | Calcula: | ||
| + | :a) <math>{6 \choose 4} \;</math> | ||
| + | |||
| + | :b) <math>{n \choose n-1} \;</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | {{p}} | ||
| + | |sol= | ||
| + | Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones: | ||
| + | |||
| + | a) {{consulta|texto=C(6,4)}} | ||
| + | |||
| + | b) {{consulta|texto=C(n,n-1)}} | ||
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| + | {{widget generico}} | ||
| + | }} | ||
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Revisión de 08:13 24 sep 2017
Tabla de contenidos[esconder] |
Permutaciones
Se llama permutaciones de n elementos, y se representa 
, a las distintas agrupaciones de n elementos ordenadas obtenidas a partir de esos n elementos.
Proposición
El número de permutaciones de n elementos se pueden calcular con la siguiente fórmula:
Permutaciones con repetición
Se llama permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., y se representa 
, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos formadas con esos n elementos, teniendo en cuenta que los elementos repetidos son indistinguibles.
Proposición
El número de permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite "a" veces , el segundo "b" veces , el tercero "c" veces, ..., con n=a+b+c+..., se pueden calcular con la siguiente fórmula:
Combinaciones
Se llaman combinaciones de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y lo representaremos por 
o 
, a los distintos subconjuntos de k elementos que pueden formarse con los n elementos dados. Nótese que al tratarse de subconjuntos no importa el orden y no pueden repetirse los elementos.
Proposición
El número de combinaciones de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) puede calcularse con la siguiente fórmula:
Variaciones con repetición
Se llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa 
, o bien 
, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que se pueden repetir los elementos.
Proposición
El número de variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
Variaciones ordinarias
Se llama variaciones ordinarias (o sin repetición) de n elementos tomados de k en k (n ≥ k), y se representa 
, o bien 
, a las distintas agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos dados en las que no se pueden repetir los elementos.
Proposición
El número de variaciones ordinarias de n elementos tomados de k en k (n ≥ k) se pueden calcular con la siguiente fórmula:
