Números complejos: Operaciones (1ºBach)

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 +Si <math>z_1=2+3i\;</math>, <math>z_2=5-4i\;</math> y <math>z_3=1+2i\;</math>, determina:
 +:a) <math>z_1 \cdot \overline{z_2}</math>
 +:b) <math>z_2 \cdot z_3^{-1}</math>
 +:c) <math>z_3 \cdot (13z_1^{-1}+41z_2^{-1})</math>
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Tabla de contenidos

[esconder]

(Pág. 150)

Operaciones con números complejos en forma binómica

  • Suma: \,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • Resta: \,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
  • Multiplicación: \,(a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i
  • División: \,\frac{(a + bi)}{(c + di)} = \frac{(a + bi) (c - di)}{(c + di) (c - di)} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2}\right) + \left( {bc - ad \over c^2 + d^2} \right)i\,, siempre que c+di\, no sea nulo.

ejercicio

Ejemplos: Operaciones con complejos en forma binómica

Efectúa las siguientes operaciones:

1. \,(3 + 2i) + (5 + 6i)
2. \,(6 - 5i) - (4 - 7i)
3. \,(3 + 4i) \cdot (2 - 5i)
4. \,\frac{(5 - 3i)}{(4 + 2i)}

Representación gráfica de las operaciones con complejos en forma binómica

(Pág. 151)

Propiedades de las operaciones con números complejos

ejercicio

Propiedades

  • Propiedades de la suma:
    • Asociativa: z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_1\;
    • Conmutativa: z_1+z_2=z_2+z_1\;
    • Existencia de elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma.
    • Existencia de opuesto: Todo número complejo, a+bi\,, tiene un opuesto, -a-bi\,
  • Propiedades del producto:
    • Asociativa: z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)=(z_1 \cdot z_2) \cdot z_1
    • Conmutativa: z_1 \cdot z_2=z_2 \cdot z_1
    • Existencia de elemento neutro: El 1 es el elemento neutro del producto.
    • Existencia de inverso: Todo número complejo, a+bi\,, distinto de 0, tiene inverso, \cfrac{1}{a+bi}:
\cfrac{1}{a+bi}=\cfrac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\cfrac{a-bi}{a^2+b^2}=\cfrac{a}{a^2+b^2}-\cfrac{b}{a^2+b^2}i
  • Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: z_1\cdot(z_2+z_3)=z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos

a) Obtener un polinomio de segundo grado cuyas raíces sean 5-2i\; y 5+2i\;.

b) ¿Cuánto ha de valer x\; para que (2x+i)^2\; sea imaginario puro?

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Operaciones con números complejos

(Pág. 150-151)

2b,d,h,k; 3; 4

1; 2a,c,e,f,g,i,j; 5

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