Regla de Ruffini (4ºESO Académicas)

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===División de un polinomio por (mx+n)=== ===División de un polinomio por (mx+n)===
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 +Entonces el cociente <math>C(x)\;</math> y el resto <math>R\;</math> de la división del polinomio entre <math>mx+n\;</math> serán:
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===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===

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Tabla de contenidos

Regla de Ruffini

División de un polinomio por (x-a)

ejercicio

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x-r)\;.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Procedimiento:

Vamos a dividir el polinomio

P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0

entre el binomio

Q(x)=x-r\,\!

para obtener el cociente

C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0

y el resto s\;.

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x)\; y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r\; en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & & & & & \\ ~~ \, | & & & & & \end{matrix}

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda, a_n\;, justo debajo de la línea, para obtener el primero de los coeficientes b_{n-1}\;:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r\; y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & b_{n-1} \ r & & & \\ ---&-----&-----&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & & & & \end{matrix}

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & & & \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & & & \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & & \end{matrix}

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

\begin{matrix} ~~ \, | & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ r~ | & & rb_{n-1} & \cdots & rb_1 & rb_0 \\ ---&-----&------&-----&-----&----- \\ ~~ \, | & a_n & a_{n-1}+rb_{n-1} & \cdots & a_1+rb_1 & a_0 +rb_0 \\ ~~ \, | & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \cdots & =b_0 & =s \end{matrix}


Los valores b_i\; son los coeficientes del polinomio cociente C(x)\;, cuyo grado será un grado menor que el del dividendo P(x)\;. El resto será s\;.

ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!
Q(x)=x-2\,\!
Solución:
   | 7  -5  -4   6  -1
   |                   
  2|    14  18  28  68
 --|-------------------
   | 7   9  14  34 |67
                   |____

El resultado significa que:

  • Cociente de la división: C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!
  • Resto: r=67\,\!

Operaciones:
  • 2 \cdot 7=14\,\!
  • -5+14=9\,\!
  • 2 \cdot 9 =18\,\!
  • -4+18=14\,\!
  • 2\cdot 14=28\,\!
  • 6+28=34\,\!
  • 2 \cdot 34=68\,\!
  • -1+68=67\,\!

video
Regla de Ruffini
Tutorial 1 (5´53")     Sinopsis:

Regla de Ruffini. Ejemplos.

Tutorial 2 (8'48")     Sinopsis:

Regla de Ruffini: Método rápido para realizar divisiones de polinomios entre binomios del tipo (x - a). Ejemplos.

Tutorial 3 (13´16")     Sinopsis:

La regla de Ruffini nos permite determinar supersónicamente el cociente y el resto de la división entre un polinomio P(x) y el polinomio Q(x) = x - a.

Tutorial 4 (10´38")     Sinopsis:

Cómo se aplica la Regla de Ruffini.

Tutorial 5 (5´26")     Sinopsis:

División de polinomios por el método de Ruffini para divisores del tipo (x-a).

Ejercicio 1 (5'14")     Sinopsis:

Ejemplo de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 2 (17'39")     Sinopsis:

2 ejemplos de división de polinomios usando la regla de Ruffini.

Ejercicio 3 (7´07)     Sinopsis:

2 ejemplos de división mediante la regla de Ruffini

Ejercicio 4 (6´57")     Sinopsis:

Otros 2 ejemplos de aplicación de la regla de Ruffini

Ejercicio 5 (6'50")     Sinopsis:

Divide 4x^4-5x^2-3x+11\; entre x-2\;.

Ejercicio 6 (12´03)     Sinopsis:

a) Divide -ax^3+a^3x-1\; entre x-a\;

b) Divide 6x^{40}-42x^{30}+8x^{20}-56x^{10}+57\; entre x^{10}-7\;

Ejercicio 7 (14´17")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1a) (x^3-6x^2-5x+2):(x-1)\;
1b) (x^5+x^4+x^3+x+1):(x+1)\;
1c) (x^6+2x^5-3x^4+x-8):(x-3)\;
1d) (x^5-3x^4-2x^3+x^2-x+1):(x-8)\;
1e) (x^3+5x^2+x-1):(x-2)\;
1f) (x^3+x^2-x-2):(x-1)\;
Ejercicio 8 (13´24")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

1g) (4x^2-6x-4):(x-2)\;
1h) (x^3-6x^2-3x+1):(x-1)\;
1i) (x^3+5x-1):(x+3)\;
1j) (x^4-1):(x+1)\;
1k) (x^7-x^6-3x^4+16x^3+47x+3x^5-30x^2-24):(x-1)\;
1l) (x^4-2x^3+x^2+x-1):(x-1)\;
Ejercicio 9 (10´40")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2a) (x^5-32):(x+2)\;
2b) (x^5-32):(x-2)\;
2c) (x^4-16):(x+2)\;
2d) (x^3-8):(x-2)\;
2e) (x^3-8):(x+2)\;
Ejercicio 10 (9´14")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

2f) (x^3+8):(x-2)\;
2g) (x^3+8):(x+2)\;
2h) (x^3-27):(x-3)\;
2i) (x^3-27):(x+3)\;
2j) (x^4+1):(x+1)\;
Ejercicio 11 (4´13")     Sinopsis:

Divide los siguientes polinomios utilizando la regla de Ruffini:

a) (-3x^4+6x^2-x+2):(x+3)\;
b) (x^3+4x^2+x-6):(x-1)\;
c) (-x^3+5):(x+2)\;

Autoevaluación: Regla de Ruffini     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la regla de Ruffini.

División de un polinomio por (mx+n)

ejercicio

Proposición

Para dividir un polinomio P(x)\; por un binomio del tipo mx+n\; efectuaremos la división por x+\cfrac{n}{m}\; (usando Ruffini pondríamos \cfrac{n}{m}\; en el lado izquierdo de la línea vertical), con lo que obtendríamos un cociente C'(x)\; y un resto R'\;.

Entonces el cociente C(x)\; y el resto R\; de la división del polinomio entre mx+n\; serán:

C(x)=\cfrac{C'(x)}{m}\;      ;      R=R'\;
Demostración:
{{{demo}}}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Regla de Ruffini

(Pág. 38)

1a,c,e; 2a,b

1b,d,f; 2c,d,e,f

Teorema del resto

ejercicio

Teorema del Resto

El valor que toma un polinomio, P(x)\;, cuando hacemos x=a\;, coincide con el resto de la división de P(x)\; entre (x-a)\;. Es decir, P(a)\,= r\,, donde r\, es el resto de dicha división.

Demostración:

Esto se deduce directamente de una de las propiedades de la división, la que dice que:

P(x)=Q(x)C(x) + R(x)\,,

donde P(x)\, es el dividendo, Q(x)\, el divisor, C(x)\, el cociente y R(x)\, el resto y verificándose además, que el grado de R(x)\, es menor que el grado de Q(x)\,.

En efecto, si tomamos el divisor Qx) = x-a\,, entonces R(x)\, tiene grado menor que 1 (el grado del resto es 0); es decir, es una constante que podemos llamar r\;, y la fórmula anterior se convierte en:

P(x)=(x-a)c(x) + r\,.

Tomando el valor x=a \!\, se obtiene que:

\frac{}{}P(a)=r

ejercicio

Ejemplo: Teorema del Resto

Calcula el resto de dividir el polinomio x^3 - 3x^2 - 7\; entre (x-2)\;

Solución:

Primer método:

Bastará calcular P(2)=2^3-3 \cdot 2^2-7=-11

Así el resto será r=P(2)=-11\;

Segundo método:

Usando la regla de Ruffini: 

   | 1  -3   0   -7
   |                   
  2|     2  -2   -4
 --|----------------
   | 1  -1  -2  |-11
                |____
Así, el resto de la división es -11, y por el teorema del resto, P(2) = -11.

video
Teorema del resto
Tutorial 1 (4´11")     Sinopsis:

Teorema del resto. Ejemplos.

Tutorial 2 (7´51")     Sinopsis:

Si P(x) es un polinomio de grado no inferior a 1, el resto de la división P(x)/(x-a) es el número P(a) que se obtiene al sustituir "x" por "a" en P(x). La división P(x)/(x-a) es "exacta" si P(a) = 0; y en tal caso se dice que "a" es un "cero" o "raíz" del polinomio P(x), o una solución de la ecuación P(x) = 0.

Tutorial 3 (más general) (12´46")     Sinopsis:
  • Teorema del resto para la división de un polinomio entre un binomio del tipo (ax+b).
  • Como ejemplo, también resolveremos los siguientes ejercicios:
1) Halla el resto de dividir el polinomio 2x^4-5x^3+3x-6\; entre el binomio (x-2)\;.
2) Halla el resto de dividir el polinomio 9x^3+3x^2+3x+1\; entre el binomio (3x+1)\;.
Ejercicio 1 (3'33")     Sinopsis:

Halla el resto de la división del polinomio x^3-2x^2+9\; entre (x+2)\;.

Ejercicio 2 (7'08")     Sinopsis:

Halla el valor de k\; para que la división del polinomio 5x^4-x^2+kx-4\; entre (x+2)\; sea exacta.

Ejercicio 3 (10´49")     Sinopsis:

1) Halla el resto de la división del polinomio x^3+x^2+x-1\; entre (x-2)\;, (x+2)\;, (x-0)\; y (3-x)\;.

2) Determina el valor de k para que el polinomio Q(x)=kx^3+(2k-1)x^2+x-k\; sea divisible por (x-2)\;.

3) Sea T(x)=4x^3-2kx^2+k^2 x-k\;. Halla el valor de k para que el resto de la división de T(x)\; entre (x-1)\; sea igual a 2.

Ejercicio 4 (18´08)     Sinopsis:

a) Halla el resto de la división de 5x^4-7x+6\; entre x+1\;.

b) y c) Otros dos ejercicios de nivel superior.

Autoevaluación: Teorema del resto     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre el teorema del resto.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Teorema del resto

(Pág. 39)

3

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