Plantilla:Límite de funciones racionales cuando x tiende a infinito
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Revisión de 05:53 2 abr 2020
Proposición
Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:
![\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;](/wikipedia/images/math/a/b/4/ab48694d35b72da0b3b611d4077bf564.png)
Se cumple que:
![\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}](/wikipedia/images/math/f/7/0/f70b5aa7be1744f26878920301bd8bbd.png)
![x \to - \infty](/wikipedia/images/math/1/6/3/1634096fed95ec95058e301f55adfed1.png)
Se pueden dar los siguientes casos:
- grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser
ó
.
- grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante,
, que es el valor del límite.
- grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.
![](/wikipedia/images/thumb/c/ca/Matesandres.jpg/22px-Matesandres.jpg)
Límites cuando x tiende a infinito de cocientes de polinomios (método rápido) y diferencias de expresiones infinitas.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e5/Lamejorasesoriajuridica.jpg/22px-Lamejorasesoriajuridica.jpg)
Límite de funciones racionales y de raíces de funciones racionales.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso 1: denominador con grado mayor que el numerador.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso 2: denominador con grado igual que el numerador.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso 3: denominador con grado menor que el numerador.
![](/wikipedia/images/thumb/e/e8/8cifras.jpg/22px-8cifras.jpg)
Caso con radicales similar al caso 2.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Fonemato.jpg/22px-Fonemato.jpg)
Para calcular el límite de un cociente de polinomios cuando x → +∞ o cuando x → -∞, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de "x" que aparezca en el denominador.
- Si numerador y denominador son de igual grado, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y el denominador.
- Si el numerador es de menor grado que el denominador, el límite es 0.
- Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el límite es +∞ ó -∞ según que el numerador y el denominador tengan igual signo o no.
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/5/59/Virtual.jpg/22px-Virtual.jpg)
Calcula:
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales sencillas en el infinito.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/6/68/Profealex.jpg/22px-Profealex.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.
![](/wikipedia/images/thumb/2/2a/Matefacil.jpg/22px-Matefacil.jpg)
Límite de funciones racionales en el infinito usando un método riguroso.