Método de Gauss para sistemas lineales (1ºBach)
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| + | |sinopsis=Principios del siglo XIX. Un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Esta va a ser una de las primeras anotaciones que hará en una vieja libreta de 19 páginas. Al final de su vida las anotaciones no llegarán a 50, pero sin duda esta libreta será el sueño de cualquier matemático del siglo XIX. Las aportaciones que en ella se reflejan contienen el suficiente material para mantener ocupados a todos los matemáticos del siglo. | ||
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| + | Sin embargo la fama de este joven, Gauss le va a venir de los cielos. A finales de 1800 los astrónomos descubren un nuevo objeto celeste. No se trata de un cometa, bien podía ser el planeta buscado tantos años entre Marte y Júpiter. Por desgracia se le pierde la pista. Pero con las pocas observaciones realizadas, Gauss se pone a la tarea de deducir su órbita y señala el lugar del cielo hacia donde apuntar los telescopios un año más tarde. Y en efecto alli aparece Ceres. | ||
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| + | Las increíbles aportaciones de Gauss no se limitan al mundo de las Matemáticas y de la Astronomía. Junto a Weber va a poner en marcha el primer telégrafo operativo unos años antes que el de Morse. En magnetismo también nos ha dejado su huella: el primer mapa magnético de la Tierra es obra suya. No es inmerecido el título de Príncipe de los Matemáticos, aunque reinó en casi todas las ciencias. | ||
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Método reducción de Gauss
El método de Gauss se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss. Consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante operaciones elementales por filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.
Ejemplo: Método de reducción de Gauss
- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas, obtenemos
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocuacion para obtener 
:
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solucion de la tercera ecuación (
), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita 
, que resolvemos para obtener:
Sustituimos la incógnita de la primera ecuación, por la solución obtenida en la segunda ecuación (
). Esto nos da una ecuación en 
:
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
Video: Gauss, el príncipe de las matemáticas (22´)
Principios del siglo XIX. Un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Esta va a ser una de las primeras anotaciones que hará en una vieja libreta de 19 páginas. Al final de su vida las anotaciones no llegarán a 50, pero sin duda esta libreta será el sueño de cualquier matemático del siglo XIX. Las aportaciones que en ella se reflejan contienen el suficiente material para mantener ocupados a todos los matemáticos del siglo.
Sin embargo la fama de este joven, Gauss le va a venir de los cielos. A finales de 1800 los astrónomos descubren un nuevo objeto celeste. No se trata de un cometa, bien podía ser el planeta buscado tantos años entre Marte y Júpiter. Por desgracia se le pierde la pista. Pero con las pocas observaciones realizadas, Gauss se pone a la tarea de deducir su órbita y señala el lugar del cielo hacia donde apuntar los telescopios un año más tarde. Y en efecto alli aparece Ceres.
Las increíbles aportaciones de Gauss no se limitan al mundo de las Matemáticas y de la Astronomía. Junto a Weber va a poner en marcha el primer telégrafo operativo unos años antes que el de Morse. En magnetismo también nos ha dejado su huella: el primer mapa magnético de la Tierra es obra suya. No es inmerecido el título de Príncipe de los Matemáticos, aunque reinó en casi todas las ciencias.
