Regla de Ruffini (4ºESO Académicas)

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Cociente de monomios

Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

$\frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n}$

Ejemplos: Cociente de monomios

Calcula:

a) $4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!$

b) $6x^4y : 2ax^3 \;\!$

Solución:

a) $4ax^4y^3 : 2x^2y = \cfrac {4ax^4y^3}{2x^2y}=2ax^2y^2$

b) $6x^4y : 2ax^3 =\cfrac {6x^4y}{2ax^3}=\cfrac {3xy}{a}$

División de polinomios

La división de polinomios tiene la mismas partes que la división aritmética. Dados dos polinomios $P(x)\;$ (dividendo) y $Q(x)\;$ (divisor) de modo que el grado de $P(x)\;$ sea mayor o igual que el grado de $Q(x)\;$ y el grado de $Q(x)\;$ sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios $C(x)\;$ (cociente) y $R(x)\;$ (resto) tales que:

$P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,$

dividendo = divisor × cociente + resto

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

Esto también lo podemos representar:

$P(x) \,$		$Q(x) \,$
$R(x) \,$		$C(x) \,$

Ejemplo: División de polinomios

Divide los siguientes polinomios:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

Solución:

$3 \, x^{4} \;$	$- 2 \, x^{3} \;$	$+ 4 \, x^{2} \;$	$+ 2 \, x \;$	$- 3 \;$	$x^{2} \;$	$- 2 \, x \;$	$- 1 \;$
$- 3 \, x^{4} \;$	$+ 6 \, x^{3} \;$	$+ 3 \, x^{2} \;$			$3 \, x^{2} \;$	$+ 4 \, x \;$	$+ 15 \;$
	$4 \, x^{3} \;$	$+ 7 \, x^{2} \;$	$+ 2 \, x \;$	$- 3 \;$
	$- 4 \, x^{3} \;$	$+ 8 \, x^{2} \;$	$+ 4 \, x \;$
		$15 \, x^{2} \;$	$+ 6 \, x \;$	$- 3 \;$
		$- 15 \, x^{2} \;$	$+ 30 \, x \;$	$+ 15 \;$
			$36 \, x \;$	$+ 12 \;$

Ejemplo:

veamos un ejemplo para:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

que para la realización de la división representamos:

$3 \, x^{4} \;$

$- 2 \, x^{3} \;$

$+ 4 \, x^{2} \;$

$+ 2 \, x \;$

$- 3 \;$

$x^{2} \;$

$- 2 \, x \;$

$- 1 \;$

como resultado de la división finalizada:

$3 \, x^{4} \;$	$- 2 \, x^{3} \;$	$+ 4 \, x^{2} \;$	$+ 2 \, x \;$	$- 3 \;$	$x^{2} \;$	$- 2 \, x \;$	$- 1 \;$
$- 3 \, x^{4} \;$	$+ 6 \, x^{3} \;$	$+ 3 \, x^{2} \;$			$3 \, x^{2} \;$	$+ 4 \, x \;$	$+ 15 \;$
	$4 \, x^{3} \;$	$+ 7 \, x^{2} \;$	$+ 2 \, x \;$	$- 3 \;$
	$- 4 \, x^{3} \;$	$+ 8 \, x^{2} \;$	$+ 4 \, x \;$
		$15 \, x^{2} \;$	$+ 6 \, x \;$	$- 3 \;$
		$- 15 \, x^{2} \;$	$+ 30 \, x \;$	$+ 15 \;$
			$36 \, x \;$	$+ 12 \;$

Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

División de un polinomio por x-a. Regla de Ruffini.

Tenemos un polinomio como este $7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!$ y queremos dividirlo por $x-2\,\!$

	7	-5	-4	6	-1
2		14	18	28	68
	7	9	14	34	67

Operaciones:

$2 \cdot 7=14\,\!$
$-5+14=9\,\!$
$2 \cdot 9 =18\,\!$
$-4+18=14\,\!$
$2\cdot 14=28\,\!$
$6+28=34\,\!$
$2 \cdot 34=68\,\!$
$-1+68=67\,\!$

El resultado significa que el cociente de la división $C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!$ y el resto es $67\,\!$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Regla_de_Ruffini_%284%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

 *El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
+*Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es '''divisible''' por el divisor, es decir, que la división es exacta.
 }}
 Esto también lo podemos representar:
 |<math> C(x) \,</math>
 |}
+<div style="background: white; padding:.75em; border:2px solid MediumBlue;border-left:4px solid MediumBlue;border-bottom:4px solid MediumBlue;">
+[[Image:ejemplo_blue.png|44px|left|ejercicio]]
+<font color="MediumBlue">'''Ejemplo: División de polinomios'''</font>
+----
+Divide los siguientes polinomios:
+: <math> P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;</math>
+: <math> Q(x)  = x^{2} - 2 \, x - 1 \;</math>
+<div class="NavFrame" style="background: white; border: 0px solid #aaaaaa; padding:3px; margin-bottom:0em; margin-left:0em;">
+<div class="NavHead rad" align="right" style="background: WhiteSmoke;">''Solución:''</div><div class="NavContent" align="left">
+----
+:{| style="width:400px"
+|- align="right"
+| <math>   3 \, x^{4} \;</math>
+| <math> - 2 \, x^{3} \;</math>
+| <math> + 4 \, x^{2} \;</math>
+| <math> + 2 \, x \;</math>
+| <math> - 3 \;</math>
+|
+| style="width:10px" |
+| style="border-bottom:1px solid black; border-left:1px solid black" |
+<math> x^{2} \;</math>
+| style="border-bottom:1px solid black" | <math> - 2 \, x \;</math>
+| style="border-bottom:1px solid black" | <math> - 1 \;</math>
+|- align="right"
+| style="border-bottom:1px solid black" | <math> - 3 \, x^{4} \;</math>
+| style="border-bottom:1px solid black" | <math> + 6 \, x^{3} \;</math>
+| style="border-bottom:1px solid black" | <math>  + 3 \, x^{2} \;</math>
+| style="border-bottom:1px solid black" |
+| style="border-bottom:1px solid black" |
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+| <math>   3 \, x^{2} \;</math>
+| <math> + 4 \, x \;</math>
+| <math> + 15 \;</math>
+|- align="right"
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+| <math>   4 \, x^{3} \; </math>
+| <math> + 7 \, x^{2} \; </math>
+| <math> + 2 \, x \;</math>
+| <math> - 3 \;</math>
+|- align="right"
+|
+| style="border-bottom:1px solid black" | <math> - 4 \, x^{3} \;</math>
+| style="border-bottom:1px solid black" | <math> + 8 \, x^{2} \;</math>
+| style="border-bottom:1px solid black" | <math>  + 4 \, x \; </math>
+| style="border-bottom:1px solid black" |
+|- align="right"
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+| <math> 15 \, x^{2} \;</math>
+| <math> + 6 \, x \;</math>
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+|- align="right"
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+| style="border-bottom:1px solid black" | <math> - 15 \, x^{2} \;</math>
+| style="border-bottom:1px solid black" | <math>  + 30 \, x \; </math>
+| style="border-bottom:1px solid black" | <math>  + 15 \;</math>
+|- align="right"
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+| <math>  36 \, x \; </math>
+| <math> + 12  \; </math>
+|}
+</div>
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