Regla de Ruffini (4ºESO Académicas)

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1 Cociente de monomios
2 División de polinomios
- 2.1 División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini.

Cociente de monomios

Entenderemos la división de monomios como una fracción que hay que simplificar, dividiendo los coeficientes y restando los exponentes de las potencias de la misma base.

$\frac{ax^m} {bx^n}= \frac{a} {b} x^{m-n}$

Ejemplos: Cociente de monomios

Calcula:

a) $4ax^4y^3 : 2x^2y \;\!$

b) $6x^4y : 2ax^3 \;\!$

Solución:

a) $4ax^4y^3 : 2x^2y = \cfrac {4ax^4y^3}{2x^2y}=2ax^2y^2$

b) $6x^4y : 2ax^3 =\cfrac {6x^4y}{2ax^3}=\cfrac {3xy}{a}$

División de polinomios

La división de polinomios tiene la mismas partes que la división aritmética. Dados dos polinomios $P(x)\;$ (dividendo) y $Q(x)\;$ (divisor) de modo que el grado de $P(x)\;$ sea mayor o igual que el grado de $Q(x)\;$ y el grado de $Q(x)\;$ sea mayor o igual a cero, siempre podremos hallar dos polinomios $C(x)\;$ (cociente) y $R(x)\;$ (resto) tales que:

$P(x) = Q(x) \cdot C(x)+ R(x) \,$

dividendo = divisor × cociente + resto

que también podemos representar como:

$P(x) \,$		$Q(x) \,$
$R(x) \,$		$C(x) \,$

El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
Cuando el resto sea igual a cero diremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

Ejemplo: División de polinomios

Divide los siguientes polinomios:

$P(x) = 3 \, x^{4} - 2 \, x^{3} + 4 \, x^{2} + 2 \, x - 3\;$

$Q(x) = x^{2} - 2 \, x - 1 \;$

Solución:

$3 \, x^{4} \;$	$- 2 \, x^{3} \;$	$+ 4 \, x^{2} \;$	$+ 2 \, x \;$	$- 3 \;$	$x^{2} \;$	$- 2 \, x \;$	$- 1 \;$
$- 3 \, x^{4} \;$	$+ 6 \, x^{3} \;$	$+ 3 \, x^{2} \;$			$3 \, x^{2} \;$	$+ 4 \, x \;$	$+ 15 \;$
	$4 \, x^{3} \;$	$+ 7 \, x^{2} \;$	$+ 2 \, x \;$	$- 3 \;$
	$- 4 \, x^{3} \;$	$+ 8 \, x^{2} \;$	$+ 4 \, x \;$
		$15 \, x^{2} \;$	$+ 6 \, x \;$	$- 3 \;$
		$- 15 \, x^{2} \;$	$+ 30 \, x \;$	$+ 15 \;$
			$36 \, x \;$	$+ 12 \;$

División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini.

Regla de Ruffini

La Regla de Ruffini nos permite dividir un polinomio entre un binomio de la forma $(x-r)\;$ , siendo $r\;$ un número entero.

También nos permite localizar raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma $(x-r)\;$ , siendo $r\;$ un número entero.

Debemos esta regla al matemático italiano Paolo Ruffini,

Demostración:

Vamos a dividir el polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

entre el binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente

$C(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0$

y el resto $s\;$ .

1. Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de P(x) y los escribimos ordenados. Entonces escribimos r en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:

    |        a_n        a_n-1       ...        a₁         a₀
    |                                    
 r  |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |                                    
    |

2. Pasamos el coeficiente más pegado a la izquierda (a_n) abajo, justo debajo de la línea para obtener el primero de los coeficientes b:

    |        a_n        a_n-1       ...        a₁         a₀
    |                                    
  r |                                    
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n                     
    |
    |  = b_n-1                                
    |

3. Multiplicamos el número más pegado a la derecha debajo de la línea por r y lo escribimos sobre la línea en la primera posición de la derecha:

    |        a_n        a_n-1       ...        a₁         a₀
    |
  r |                  b_n-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n
    |
    |      = b_n-1                                
    |

4. Añadimos los dos valores que hemos puesto en la misma columna:

    |        a_n        a_n-1       ...        a₁         a₀
    |
  r |                  b_n-1r
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n     a_n-1+(b_n-1r)
    |
    |      = b_n-1     = b_n-2                                
    |

5. Repetimos los pasos 3 y 4 hasta que no tengamos más números:

    |        a_n        a_n-1       ...        a₁         a₀
    |
  r |                  b_n-1r      ...        b₁r        b₀r
----|---------------------------------------------------------
    |        a_n     a_n-1+(b_n-1r)  ...       a₁+b₁r       a₀+b₀r
    |
    |      = b_n-1     = b_n-2      ...       = b₀        = s
    |

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante $C(x)\;$ , el grado será menor que el grado de $P(x)\;$ . El resto será $s\;$ .

Ejemplo: Regla de Ruffini

Divide los polinomios usando la regla de Ruffini:

$P(x)=7x^4-5x^3-4x^2+6x-1\,\!$

$Q(x)=x-2\,\!$

Solución:

	7	-5	-4	6	-1
2		14	18	28	68
	7	9	14	34	67

Operaciones:

$2 \cdot 7=14\,\!$
$-5+14=9\,\!$
$2 \cdot 9 =18\,\!$
$-4+18=14\,\!$
$2\cdot 14=28\,\!$
$6+28=34\,\!$
$2 \cdot 34=68\,\!$
$-1+68=67\,\!$

El resultado significa que el cociente de la división $C(x)=7x^3+9x^2+14x+34\,\!$ y el resto es $67\,\!$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Regla_de_Ruffini_%284%C2%BAESO_Acad%C3%A9micas%29"

Categorías: Matemáticas | Álgebra

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 ===División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini.===
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-para obtener el cociente <math>R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0</math>
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+y el resto <math>s\;</math>.</center>
 . Trazamos dos líneas a manera de ejes. Cogemos los coeficientes de ''P''(''x'') y los escribimos ordenados. Entonces escribimos ''r'' en la parte inferior izquierda del eje, encima de la línea:
      |
-Los valores ''b'' son los coeficientes del polinomio resultante (''R''(''x'')), el grado será menor que el grado de ''P''(''x''). El resto será <math>s\;</math>.
+Los valores ''b'' son los coeficientes del polinomio resultante <math>C(x)\;</math>, el grado será menor que el grado de <math>P(x)\;</math>. El resto será <math>s\;</math>.
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