Método de Gauss para sistemas lineales (1ºBach)
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| *Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero. | *Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero. | ||
| *Cambiar el orden de las filas. | *Cambiar el orden de las filas. | ||
| - | *Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. Es decir: si, por ejemplo, la 2ª columna corresponde a la incógnita y y la tercera a la incógnita z, y cambiamos el orden de las columnas, ahora la 2ª columna corresponde a la incógnita z y la tercera a la incógnita y. | + | *Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente. |
| *Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras. | *Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras. | ||
| *Eliminar filas nulas (0 0 0 ... 0). | *Eliminar filas nulas (0 0 0 ... 0). | ||
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Método reducción de Gauss
El método de Gauss que se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( 
) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ..., y la primera todas las incógnitas.
Las operaciones que podemos realizar en dicha matriz para transformar el sistema inicial en otro equivalente son las siguientes:
- Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.
- Sumarle o restarle a una fila otra fila.
- Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
- Cambiar el orden de las filas.
- Cambiar el orden de las columnas que corresponden a las incógnitas del sistema, teniendo en cuenta los cambios realizados a la hora de escribir el nuevo sistema equivalente.
- Eliminar filas proporcionales o que sean combinación lineal de otras.
- Eliminar filas nulas (0 0 0 ... 0).
Ejemplo: Método de reducción de Gauss
- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:
La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es:
Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:
Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas, obtenemos
que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
que es equivalente al inicial.
Solucionamos la tercera ocuacion para obtener 
:
En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solucion de la tercera ecuación (
), para obtener:
La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita 
, que resolvemos para obtener:
Sustituimos la incógnita de la primera ecuación, por la solución obtenida en la segunda ecuación (
). Esto nos da una ecuación en 
:
que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:
Video: Gauss, el príncipe de las matemáticas (22´)
Principios del siglo XIX. Un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Esta va a ser una de las primeras anotaciones que hará en una vieja libreta de 19 páginas. Al final de su vida las anotaciones no llegarán a 50, pero sin duda esta libreta será el sueño de cualquier matemático del siglo XIX. Las aportaciones que en ella se reflejan contienen el suficiente material para mantener ocupados a todos los matemáticos del siglo.
Sin embargo la fama de este joven, Gauss le va a venir de los cielos. A finales de 1800 los astrónomos descubren un nuevo objeto celeste. No se trata de un cometa, bien podía ser el planeta buscado tantos años entre Marte y Júpiter. Por desgracia se le pierde la pista. Pero con las pocas observaciones realizadas, Gauss se pone a la tarea de deducir su órbita y señala el lugar del cielo hacia donde apuntar los telescopios un año más tarde. Y en efecto alli aparece Ceres.
Las increíbles aportaciones de Gauss no se limitan al mundo de las Matemáticas y de la Astronomía. Junto a Weber va a poner en marcha el primer telégrafo operativo unos años antes que el de Morse. En magnetismo también nos ha dejado su huella: el primer mapa magnético de la Tierra es obra suya. No es inmerecido el título de Príncipe de los Matemáticos, aunque reinó en casi todas las ciencias.
