Algunos límites importantes (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 18:45 12 ene 2009
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Suma de los términos de una progresión geométrica)
← Ir a diferencia anterior		 Revisión de 18:57 12 ene 2009
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Suma de los términos de una progresión geométrica)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 41: Línea 41:
<center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center> <center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
 +
 +*Si <math>r<-1\;</math>, entonces <math>a_1 r^n\;</math> va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión <math>S_n\;</math> también va a oscilar en signo y no tiene límite.
 +
 +*Si <math>r=-1\;</math>, el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:
 +
 +<center><math>a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots</math></center>
 +
 +y la sucesión <math>S_n \;</math> sería:
 +
 +<center><math>a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots</math></center>
 +
 +que oscila y no tiene límite.
 +
 +*Si <math>r=1\;</math>, la progresión quedaría constante:
 +
 +<center><math>a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots</math>, .</center>
 +
 +y tendríamos que <math>S_n = a_1 n \;</math>, cuyo límite es:
 +
 +<center><math>lim \ S_n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
}} }}

Revisión de 18:57 12 ene 2009

Suma de los términos de una progresión geométrica

ejercicio

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica

Sea a_n\; una progresión geométrica de razón r\; y sea S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1} la suma de sus n primeros términos

  • Si 0<\; \mid r \mid \; <1, entonces el límite de S_n\; existe y su valor es:
lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}
  • Si r\ge 1\;, entonces el límite de S_n\; es +\infty \; o -\infty:
lim \ S_n = S_{\infty}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}
  • Si r\le -1\;, entonces el límite de S_n\; no existe.

El número e

El número áureo, \phi \;

ejercicio

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...), construimos, por recurrencia, la sucesión b_n=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}, se cumple que:

lim \ b_n=lim \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618 \cdots (número áureo)

ejercicio

Video: La divina proporción. El número Phi. (6´)

ejercicio

Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Algunos_l%C3%ADmites_importantes_%281%C2%BABach%29"
Herramientas personales
phpMyVisites * AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda