Algunos límites importantes (1ºBach)

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 ::* Si <math> 0<\; \mid r \mid \; <1 </math>, entonces el límite de <math>S_n\;</math> existe y su valor es:
-<center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>
+<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}</math></center>
 ::*Si <math>r\ge 1\;</math>,  entonces el límite de <math>S_n\;</math> es <math>+\infty \;</math> o <math>-\infty</math>:
-<center><math>lim \ S_n = S_{\infty}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
+<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
 ::*Si <math>r\le -1\;</math>,  entonces el límite de <math>S_n\;</math> no existe.
 y por tanto
-<center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>
+<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}</math></center>
 *Si <math>r>1\;</math>, entonces
 y por tanto
-<center><math>lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
+<center><math>S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
 *Si <math>r<-1\;</math>,  entonces <math>a_1 r^n\;</math> va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión <math>S_n\;</math> también va a oscilar en signo y no tiene límite.
 y la sucesión <math>S_n \;</math> sería:
-<center><math>a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots</math></center>
+<center><math>a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots</math></center>
 que oscila y no tiene límite.
 y tendríamos que <math>S_n = a_1 n \;</math>, cuyo límite es:
-<center><math>lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
+<center><math>S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}</math></center>
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Revisión de 19:01 12 ene 2009

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Suma de los términos de una progresión geométrica

Límite de la suma de n primeros términos de una progresión geométrica

Sea $a_n\;$ una progresión geométrica de razón $r\;$ y sea $S_n=\frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}$ la suma de sus n primeros términos

Si $0<\; \mid r \mid \; <1$ , entonces el límite de $S_n\;$ existe y su valor es:

$S_{\infty}=lim \ S_n = \frac{a_1}{1-r}$

Si $r\ge 1\;$ , entonces el límite de $S_n\;$ es $+\infty \;$ o $-\infty$ :

$S_{\infty}=lim \ S_n =\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

Si $r\le -1\;$ , entonces el límite de $S_n\;$ no existe.

Demostración:[Mostrar]

Si $0<\; \mid r \mid \; <1$ , entonces

$lim \ r^n = 0 \;$ y también $lim \ a_1 r^n = 0$ .

(Por ejemplo, si $a 1 = 3$ y $r = 0.5$ , al multiplicar sucesivas veces 3 por 0.5, lo que equivale a dividir por 2, el resultado se aproxima cada vez más a cero.)

y por tanto

$S_{\infty}=lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\frac{0-a_1}{r-1}=\frac{-a_1}{r-1}=\frac{a_1}{1-r}$

Si $r>1\;$ , entonces

$lim \ r^n \; = +\infty$ y $lim \ a_1 r^n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

(Por ejemplo, si $a 1 = 3$ y $r = 5$ , al multiplicar sucesivas veces 3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a $+\infty$ . Mientras que si $a 1 = - 3$ y $r = 5$ , al multiplicar sucesivas veces -3 por 5, el resultado se aproxima cada vez más a $-\infty$ )

y por tanto

$S_{\infty}= lim \ S_n=lim \ \frac{a_1 r^n-a_1}{r-1}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

Si $r<-1\;$ , entonces $a_1 r^n\;$ va alternando valores positivos y negativos, cada vez mayores en valor absoluto, de manera que a la sucesión $S_n\;$ también va a oscilar en signo y no tiene límite.

Si $r=-1\;$ , el caso es muy sencillo, porque la progresión quedaría:

$a_1,\ -a_1,\ a_1,\ -a_1,\ \cdots$

y la sucesión $S_n \;$ sería:

$a_1,\ 0,\ a_1,\ 0,\ \cdots$

que oscila y no tiene límite.

Si $r=1\;$ , la progresión quedaría constante:

$a_1,\ a_1,\ a_1,\ a_1,\ \cdots$ , .

y tendríamos que $S_n = a_1 n \;$ , cuyo límite es:

$S_{\infty}=lim \ S_n = S_n = lim \ a_1 n = \begin{cases} +\infty, & \mbox{si }a_1>0\mbox{ } \\ -\infty, & \mbox{si }a_1<0\mbox{ } \end{cases}$

El número e

El número áureo, $\phi \;$

La sucesión de Fibonacci y el número áureo

Si a partir de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...), construimos, por recurrencia, la sucesión $b_n=\cfrac{a_{n+1}}{a_n}$ , se cumple que:

$lim \ b_n=lim \ \cfrac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \phi = 1.618 \cdots$ (número áureo)

Demostración:[Mostrar]

Lo siguiente no es una demostración, sino una comprobación:

En efecto, si en la sucesión de Fibonacci

$1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89, \cdots$

dividimos cada término entre el anterior, tenemos:

$\cfrac{1}{1},\ \cfrac{2}{1},\ \cfrac{3}{2},\ \cfrac{5}{3},\ \cfrac{8}{5},\ \cfrac{13}{8},\ \cdots$

que expresada con decimales nos da:

$1,\ 2,\ 1.5,\ 1.66,\ 1.6,\ 1.625,\ 1.615 \cdots \rightarrow \phi$

Video: La divina proporción. El número Phi. (6´)

Sinopsis: [Mostrar]

Documental sobre la historia del número áureo, Phi $(\phi)\;$ y la divina proporción.

Video:[Mostrar]

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Click aquí para enlace desde servidor TIC

Web: [Phi, el número de oro Phi, el número de oro]

Descripción: [Mostrar]

A lo largo de la historia, Phi, el número de oro o número áureo, ha representado, para las personas que lo han conocido, la belleza, la magia, la perfección, lo divino. ¿Por qué?. Página elaborada por D. Luis Nicolás Ortiz.

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Categorías: Matemáticas | Números