Factorización de polinomios (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Divisibilidad de polinomios

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Divisibilidad de polinomios

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Polinomios múltiplos y divisores

La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .

Un polinomio $D(x)\,$ es divisor de otro, $P(x)\,$ y lo representaremos por $P(x)|Q(x)\;$ , si la división $P(x):\,D(x)\,$ es exacta. Es decir, cuando

$P(x)=\,D(x)\cdot C(x)\,$

En tal caso, diremos que $P(x)\,$ es divisible por $Q(x)\,$ . También diremos que $P(x)\,$ es un múltiplo de $D(x)\,$ .

Ejemplos:

$(3x+1) \cdot (x^2-5x+3) =3x^3-14x^2+4x+3 \Rightarrow (3x^3-14x^2+4x+3):(3x+1)=x^2-5x+3$

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

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Polinomios irreducibles

Un polinomio $P(x)\,$ es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.

Ejemplos:

Son polinomios irreducibles, entre otros:

Los de primer grado: $3x,\ x-3,\ 5x-3\ \cdots \;$
Los de segundo grado sin raíces: $x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \cdots \;$

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Factorización de polinomios de grado 2

Factorización de polinomios de segundo grado

Un polinomio de segundo grado $kx^2+mx+n\;$ , con raíces rales, $a\;$ y $b\;$ , se puede factorizar de la forma

$k(x-a)(x-b)\;$

donde $k\;$ es un número real.

Demostración:

Ejemplo:

El polinomio $5 x 2 + 5 x - 60$ tiene dos raíces: $x_1=3,\ x_2=-4$ , que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado $5 x 2 + 5 x - 60 = 0$ . Entonces: