Factorización de polinomios (1ºBach)
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| ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== | ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== | ||
| *Siempre que se pueda, sacaremos x '''factor común'''. | *Siempre que se pueda, sacaremos x '''factor común'''. | ||
| - | *Mediante la '''[[regla de Ruffini]]''' buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz <math>x=a\;</math> de un polinomio <math>P(x)\;</math>, tendremos que <math>P(x)=(x-a)Q(x)\;</math>, donde <math>Q(x)\;</math> tiene un grado menos que <math>P(x)\;</math>. | + | *Mediante la '''[[Cociente de Polinomios. Regla de Ruffini (4ºESO-B)#División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini|regla de Ruffini]]''' buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz <math>x=a\;</math> de un polinomio <math>P(x)\;</math>, tendremos que <math>P(x)=(x-a)Q(x)\;</math>, donde <math>Q(x)\;</math> tiene un grado menos que <math>P(x)\;</math>. |
| *Si es un '''polinomio bicuadrado''', ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero. | *Si es un '''polinomio bicuadrado''', ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero. | ||
| *Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos. | *Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos. | ||
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Tabla de contenidos |
Divisibilidad de polinomios
Polinomios múltiplos y divisores
La divisibilidad en el conjunto de los polinomios es muy similar a la .
Un polinomio 
es divisor de otro, 
y lo representaremos por 
, si la división 
es exacta. Es decir, cuando
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En tal caso, diremos que es divisible por 
. También diremos que es un múltiplo de .
Ejemplos:
La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.
Polinomios irreducibles
Un polinomio es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior es divisor suyo.
Ejemplos:
Son polinomios irreducibles, entre otros:
- Los de primer grado:
- Los de segundo grado sin raíces:
Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.
Factorización de polinomios de grado 2
Factorización de polinomios de segundo grado
Un polinomio de segundo grado, 
, con raíces rales, 
y 
, se puede factorizar de la forma
Demostración:
Ejemplos:
- El polinomio
tiene dos raíces: 
, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado 
. Entonces:
- El polinomio incompleto de grado 3,
, se puede descomponer de la siguiente manera:
- (Observa que primero hemos sacado factor común
y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior).
Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2
- Siempre que se pueda, sacaremos x factor común.
- Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz
de un polinomio 
, tendremos que 
, donde 
tiene un grado menos que .
- Si es un polinomio bicuadrado, ax^4+bx^2+c\;, podremos hallarle las raices resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.
- Si un polinomio de grado mayor que 2 no puede factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con lo sconocimientos que tenemos.
