Factorización de polinomios (4ºESO Académicas)
De Wikipedia
| Revisión de 09:13 13 ene 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Factorización de polinomios) ← Ir a diferencia anterior |
Revisión de 09:40 13 ene 2009 Coordinador (Discusión | contribuciones) (→Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini) Ir a siguiente diferencia → |
||
| Línea 85: | Línea 85: | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| :(Observa que primero hemos sacado factor común <math>x\;</math> y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior). | :(Observa que primero hemos sacado factor común <math>x\;</math> y luiego hemos factorizado el polinomio de grado 2, como hicimos en el ejemplo anterior). | ||
| + | }} | ||
| + | {{p}} | ||
| + | ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== | ||
| + | {{caja_Amarilla|texto= | ||
| + | *Siempre que se pueda, sacaremos <math>x\;</math> '''factor común'''. | ||
| + | *Mediante la '''[[Cociente de Polinomios. Regla de Ruffini (4ºESO-B)#División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini|regla de Ruffini]]''' buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz <math>x=a\;</math> de un polinomio <math>P(x)\;</math>, tendremos que <math>P(x)=(x-a)Q(x)\;</math>, donde <math>Q(x)\;</math> tiene un grado menos que <math>P(x)\;</math>. ([[Factorización de Polinomios (4ºESO-B)|Más detalles]]). | ||
| + | }} | ||
| + | Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos. | ||
| + | |||
| + | En algunos casos, como en el de los '''polinomios bicuadrados''', que son polinomios de la forma <math>ax^4+bx^2+c\;</math>, si podremos hallarle las raices, resolviendo la [[Otros Tipos de Ecuaciones (4ºESO-B)#ecuaciones bicuadradas|ecuación bicuadrada]] que resulta de igualarlo a cero. | ||
| + | {{p}} | ||
| + | {{ejemplo|titulo=Ejemplos: ''Factorización de polinomios bicuadrados'' | ||
| + | |enunciado= Factoriza el siguiente polinomio: <math>P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!</math> | ||
| + | |sol= | ||
| + | Resolvemos la ecuación bicuadrada: <math>x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!</math> | ||
| + | |||
| + | <math>x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-7y+6=0</math> | ||
| + | |||
| + | <math>y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}</math> | ||
| + | |||
| + | '''Soluciones:''' <math>-1,\, 1,\, -\sqrt 6,\, \sqrt 6\,\!</math> | ||
| + | |||
| + | Entonces, la factorización del polinomio es la siguiente: | ||
| + | |||
| + | <center><math>P(x)=(x+1)(x-1)(x+\sqrt 6)(x-\sqrt 6)</math></center> | ||
| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| ===Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini=== | ===Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini=== | ||
| - | Para factorizar un polinomio mediante la [[Cociente de Polinomios. Regla de Ruffini (4ºESO-B)#División de un polinomio por (x-a). Regla de Ruffini|regla de Ruffini]], aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más. | + | Para factorizar un polinomio mediante la regla de [[Ruffini]], aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más. |
| <div style="background: white; padding:.75em; border:2px solid MediumBlue;border-left:4px solid MediumBlue;border-bottom:4px solid MediumBlue;"> | <div style="background: white; padding:.75em; border:2px solid MediumBlue;border-left:4px solid MediumBlue;border-bottom:4px solid MediumBlue;"> | ||
Revisión de 09:40 13 ene 2009
Tabla de contenidos[esconder] |
Teorema del resto
Teoerma del Resto
El valor que toma un polinomio, 
, cuando hacemos 
, coincide con el resto de la división de entre 
. Es decir, 
, donde 
es el resto de dicha división.
el divisor, 
el cociente y 
el resto y verificándose además, que el grado de 
, entonces 
, y la fórmula anterior se convierte en:
se obtiene que:
entre 
Raíces de un polinomio
Un número 
es una raíz de un polinomio 
si 
. Dicho de otra forma, las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación 
.
Corolario al Teorema del Resto
Si es una raíz de un polinomio , entonces es un factor de dicho polinomio.
y, por el teorema del resto, el resto de dividir Raíces enteras de un polinomio
Tenemos un polinomio 
con raíces entera y queremos encontrarlas. Para hacerlo tenemos que ir probando a dividirlo por 
, pero ¿qué valor puede tomar 
? El siguiente resultado nos da la respuesta:
Teorema
Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente.
también. Luego Factorización de polinomios
Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.
Factorización de polinomios de grado 2
Factorización de polinomios de segundo grado
Un polinomio de segundo grado, 
, con raíces rales, 
y 
, se puede factorizar de la forma
tiene dos raíces: 
, que se obtienen de resolver la ecuación de segundo grado 
. Entonces:
, se puede descomponer de la siguiente manera:
Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2
- Siempre que se pueda, sacaremos
factor común.
- Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente. Así, si encontramos una raíz de un polinomio , tendremos que
, donde 
tiene un grado menos que . (Más detalles).
Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.
En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, que son polinomios de la forma 
, si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.
Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados
Factoriza el siguiente polinomio: 
Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini
Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces los divisores del término independiente, hasta que nos quede un polinomio de segundo grado. Cuando estemos en este punto, aplicaremos la fórmula de la ecuación de segundo grado y obtendremos las dos últimas raíces y por tanto los dos últimos factores. Esto será así, siempre y cuando, el discriminante de la ecuación no sea negativo, ya que de serlo, no habrá más raíces y no podremos descomponerlo más.
:
son 
